Question

Hallar el valor de la serie

∞
∑ (x/2ˣ)
n=1

Answer 1

Sabiendo que la serie converge, hay que tener en cuenta otro resultado.
La serie
       ∞
P₂= ∑ 1/2ˣ, converge a 2.
     n=0

Pues al expander la serie:
∞
∑ 1/2ˣ =  1+1/2 + 1/2² + 1/2³ + .... = P₂
n=0

Si Factorizamos (1/2):
P₂ = 1+ 1/2( 1+1/2 + 1/2² + 1/2³ + ....)

Luego notamos que los términos dentro del paréntesis son equivalentes a P₂

P₂ = 1+ 1/2(P₂)

Despejando P₂:
P₂ = 2

Ahora resolvamos la serie
       ∞
P=  ∑ (x/2ˣ) 
     n=1

Expandiendo:
∞
∑ (x/2ˣ)  = 1/2 + 2/2² + 3/2³ + 4/2⁴ + ...
n=1 

Si factorizamos (1/2) y separamos las fracciones convenientemente:

P= 1/2 (1+ 2/2 + 3/2² + 4/2³ +...)
= 1/2 (1+ (1/2 + 1/2) + (2/2² +1/2²) + (3/2³ + 1/2³) +...)

Notamos que aparece la serie que ya habíamos resuelto antes (P₂) y además que está la serie P:

P = 1/2 ((1+ 1/2 + 1/2² + 1/2³+ .. )+ (1/2 + 2/2² + 3/2³ +...))
P = 1/2 (P₂ + P)
P= 1/2 (2 + P)

Despejando P:
P= 1+ P/2
P = 2

Luego:

∞
∑ (x/2ˣ) = 2
n=1