Question

Hallar el valor de “k” en la ecuación: (k - 1)x2 – 5x + 3k – 7 = 0 Para que una de sus raíces sea el recíproco de la otra.

Answer 1

Respuesta a tu problema que involucra Álgebra y formula general:

⇒ k=2

Explicación paso a paso:

Partimos de entender que es el recíproco de un número es es el número denotado como $\frac{1}{x}$, que al multiplicarlo por "x" da como resultado 1.

Para que se cumpla el enunciado "una de sus raíces sea el recíproco de la otra" se tiene que cumplir que:

$\frac{1}{x_1}=x_2$             Ec.1

El problema además nos da:

$(k-1)x^2 - 5x + 3k - 7 = 0$      Ec.2

Sobre esta ecuación de la forma $ax^2+bx+c=0$ aplicaremos la formula general para conocer las raíces $x_1 , x_2$, siendo:

• a=k-1
• b=-5
• c=(3k-7)

$\frac{-b+-\sqrt{(b^2)-4ac}}{2a} \\= \frac{-(-5)+-\sqrt{(-5)^2-4(k-1)(3k-7)}}{2(k-1)}\\= \frac{5+-\sqrt{(25-(12k^2-40k+28)}}{2k-2}\\= \frac{5+-\sqrt{(25-12k^2-40k-28}}{2k-2}$

De esta forma:

$x_1= \frac{5+\sqrt{(25-12k^2+40k-28}}{2k-2}\\x_2= \frac{5-\sqrt{(25-12k^2+40k-28}}{2k-2}$

aplicando la Ec.1:

$\frac{1}{ \frac{5+\sqrt{(25-12k^2+40k-28}}{2k-2}\\} = \frac{5-\sqrt{(25-12k^2+40k-28}}{2k-2}$

= $\frac{2k-2}{ 5+\sqrt{(25-12k^2+40k-28}\\} = \frac{5-\sqrt{(25-12k^2+40k-28}}{2k-2}$$1 = \frac{(5-\sqrt{(25-12k^2+40k-28)}*(5+\sqrt{(25-12k^2+40k-28)}}{(2k-2)*(2k-2)}$

Aplicaremos la siguiente  propiedad al numerador:

$(x+a)(x-a)=x^2-a^2$   propiedad

$1 = \frac{25-\sqrt{(25-12k^2+40k-28)}^2}{4k^2-8k-4}$

$1 = \frac{25-(25-12k^2+40k-28)}{4k^2-8k-4}$

$1 = \frac{12k^2-40k+28}{4k^2-8k-4}$

$4k^2-8k-4 = 12k^2-40k+28\\0 = 12k^2-40k+28 -4k^2+8k+4\\8 k^2-32k+32=0\\2(4 k^2-16k+16)=0\\k^2-4k+4=0$

Finalmente sobre esta formula utilizaremos nuevamente la formula general, considerando:

• a=1
• b= -4
• c= 4

por lo que nos queda:

$\frac{4+-\sqrt{16-16}}{2}$

De aquí apreciamos que se elimina el segundo término del numerador, por lo que tendremos una única solución:

k=$\frac{4}{2}=2$

Answer 2

Respuesta:

Explicación paso a paso:

no se como sale pero no es 2 lo puse en el examen y me salio incorrecto