Question

Hallar el producto de los 11 primeros terminos de una progresion geometrica
Si sabemos q el termino central es 2 ?
Progresion geometrica

Answer 1

El producto de los 11 primeros términos de la progresión geométrica indicada en el problema es: 2048

Para resolver identificamos los elementos de la progresión geométrica:

$a_{1}$     $a_{2}$      $a_{3}$    ...    $a_{6}$    ...   $a_{10}$      $a_{11}$

Del problema sabemos que $a_{6}$  = 2

1.  La siguiente fórmula nos ayudará a encontrar : $a_{1}$ y $a_{11}$

$a_{n}=a_{1}.r^{n-1}$

2. Analizando del término central hacia la izquierda:

$a_{6}=a_{1}.r^{6-1}$

$2=a_{1}.r^{5}$

$r^{5}=2/a_{1}.$ ...(1)

3. Analizando del término central hacia la derecha:

$a_{11}=a_{6}.r^{6-1}$

$a_{11}=2.r^{5}$

$r^{5}=a_{11}/2$ ...(2)

4. Igualamos (1) y (2)

$\frac{2}{a_{1}}=\frac{a_{11}}{2}$

$a_{1}=2(\frac{2}{a_{11}})$

$a_{1}=\frac{4}{a_{11}}$

5. Luego, para hallar el producto de los 11 términos de la sucesión tenemos la siguiente fórmula:

$P_{n} = \sqrt{(a_{a}.a_{n})^n}  \\\\Resolvemos\\\\P_{11} = \sqrt{(a_{1}.a_{11})^{11}} \\\\P_{11} = \sqrt{(\frac{4}{a_{11}} .a_{11})^{11}} \\\\\\P_{11} = \sqrt{(2^2)^{11}}\\\\P_{11} = 2^{\frac{2(11)}{2}}\\\\\\P_{11} = 2^{11}\\ \\P_{11} = 2048$