Question

hallar el menor numero natural que tiene todos sus digitos iguales y es multiplo de 1998

Answer 1

$1998=2\cdot 3^3\cdot 37$

ahora veamos como son los números de cifras iguales
$\displaystyle \underbrace{111\cdots 111}_{\text{n cifras}}=10^{n-1}+10^{n-2}+\cdots+10^2+10+1\\ \\ \underbrace{111\cdots 111}_{\text{n cifras}}=\sum\limits_{i=0}^{n-1}10^i\\ \\ k\sum\limits_{i=0}^{n-1}10^i=1998\cdot a \\ \\ \sum\limits_{i=0}^{n-1}10^i=1998 \cdot \dfrac{a}{k}$

$\displaystyle \sum\limits_{i=0}^{n-1}10^i=111\cdot 18\cdot \dfrac{a}{k}\\ \\ 18\cdot \dfrac{a}{k}=\frac{\sum\limits_{i=0}^{n-1}10^i}{111}\\ \\ 18\cdot \dfrac{a}{k}=\dfrac{\overbrace{111\cdots 111}^{3k \text{ cifras}}}{111}$

$18\cdot \dfrac{a}{k}\in\left\{1,1001,1001001,1001001001,\hdots\right\}\\ \\ \text{Como ning\'un elemento del conjunto es par entonces }k \text{ es par}\\ \text{Adem\'as los elementos del conjunto deben ser m\'ultiplos de 3}\\ \\ k=6\\ a=333667$

[Por que k=6, pues si es 2, a tomaría un valor más grande,etc.]
Por ello el menor número es 666666666