Question

Hallar el mayor número de tres cifras múltiplo de seis, tal que si se le suma de 1 U se convierte en el múltiplo de siete y si se le agrega 1 U más se convierte un múltiplo de ocho. Hallar la suma de sus cifras

Answer 1

Hay que notar algo
1) multiplos de 2 de 3 cifras: 102, 108, 114, ...

2) los restos
102 mod 7 = 4
108 mod 7 = 3
114 mod 7 = 2
120 mod 7 = 1
126 mod 7 = 0
132 mod 7 = 6

Note que necesitamos a un número de 3 cifras que sea múltiplo de 6, 7°-1 = 7°+6, 8° -2 = 8° + 6

Entonces podemos afirmar que 132 + 42° mod 7 = 6

3) Los restos
102 mod 8 = 6
108 mod 8 = 4
114 mod 8 = 2
120 mod 8 = 0
126 mod 8 = 6

por ende 102 + 24° mod 8 = 6

y así $\overline{abc}=132+42\°=102+24\°$

Luego resolvamos la siguiente ecuación diofántica
  
         102 + 24x = 132+42y
 
         24x - 42y = 30
 
           4x - 7y = 5

x = 7r + 3
y = 4r +1

Por consiguiente
 
                          $\overline{abc} = 102+24(7r+3)\\ \\ \overline{abc} = 174 + 168r\;,\; \forall r\in \mathbb{Z}\\ \\ \\ \max{\overline{abc}}=174+168(4)=846$

Answer 2

Respuesta:

Explicación paso a paso:

846