Hallar el lugar geométrico de los puntos cuyo producto de distancias a las rectas 3x-4y+1=0 , 3x+4y-7=0, sea igual a 144/25. ¿Qué curva representa dicho lugar?
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11
Sea P(u, v) el conjunto de puntos del lugar geométrico. Se cambian x e y por u y v para no confundir coordenadas.
Distancia a una de las rectas: d = (3 u - 4 y + 1) /√(3² + 4²)
Distancia a la otra: d' ? (3 u + 4 y - 7) /√(3² + 4)²
Las multiplicamos:
d d' = 144/25 = (3 u - 4 v + 1) / 5 . (3 u + 4 v - 7) / 5
Queda:
(3 u - 4 v + 1) . (3 u + 4 v - 7) = 144
Omito las operaciones básicas. Quitamos los paréntesis:
9 u² - 16 v² - 18 u + 32 v - 7 = 144
Volvemos a x e y
9 x² - 16 y² - 18 x + 32 y - 151 = 0
Es una hipérbola. Buscamos la forma ordinaria completando cuadrados.
9 (x² - 2 x + 1) - 16 (y² - 2 y + 1) = 151 + 9 - 16 = 144
9 (x - 1)² - 16 (y - 1)² = 144; dividimos por 144
(x - 1)²/16 - (y - 1)²/9 = 1
Hipérbola de centro en (1, 1)
Semiejes: a = 4, b = 3
Adjunto gráfico.
Mateo.
Adjuntos:
yuridiagarciamp29kq8:
Disculpa, me podrías explicar por qué al principio divides las distancias entre la raíz de 9+16?
Te lo agradecería mucho, también si me explicarás por qué cuando multiplicas por 144/25 eliminas los 5 que estaban en el denominador
Porfavor, ya que no solo quiero tener la respuesta, quiero entender porque da ese resultado
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