Question

hallar el conjunto solución
ax ≤ 2a , a<0

Answer 1

Solución por intervalo: %

F

M

,

!V

Explicación paso a paso:

espero que te ayude Respuesta:

SOLUCIÓN DE INECUACIONES DE UNA VARIABLE

Resolver una inecuación es hallar el conjunto de soluciones de las incógnitas que

satisfacen la inecuación.

Terminología: ax + b > cx + d

Resolver cada una de las siguientes inecuaciones o desigualdades, expresando

cada conjunto de soluciones en notación por desigualdad, intervalo y gráfico:

1. Resolviendo una inecuación lineal > +

Solución.

Operando el segundo miembro:

6  > 12

Dividiendo entre 6 a ambos lados para despejar x:

6  

>

12

Simplificando resulta que (solución por desigualdad):

  > 2

Por consiguiente el conjunto solución para x son todos los valores mayores

que 2.

Solución por intervalo: (2, ∞)

Gráficamente: (

Primer miembro Segundo miembro

0 2  

0

8

2. Resolviendo una inecuación lineal − <   + 5

Solución:

Pasando x al primer miembro y 3 al segundo:

2  −   < 5 + 3

Operando término a término resulta que (solución por desigualdad):

  < 8

Por consiguiente el conjunto solución para x son todos los valores menores

que 8.

Solución por intervalo: (−∞, 8)

Gráficamente: )

3. Resolviendo una inecuación lineal con fracciones −

≥  −

Solución:

Multiplicando cada miembro por 2 y simplificando:

1 − 3x

2

≥ (x − 4)

2 − 3x ≥ 2x − 8

Pasando 2x al primer miembro y el 2 al segundo:

−3x − 2x ≥ −8 − 2

Operando término a término:

−5x ≥ −10

Dividiendo entre -5 a ambos lados e invirtiendo el sentido de la desigualdad:

−5x

− ≥

−10

−

0 2

0 4

Simplificando resulta que (solución por desigualdad):

x ≤ 2

Por consiguiente el conjunto solución para x son todos los valores menores o

iguales que 2.

Solución por intervalo: (−∞, 2]

Gráficamente: ]

4. Resolviendo una inecuación con nociones algebraicas

( + )( − ) < ( − ) +

Solución.

Aplicando la propiedad distributiva en el primer miembro y resolviendo el

producto notable en el segundo:

x

! + 2x − 3 < x! − 2x + 1 + 3x

Suprimiendo  

!

en ambos miembros y transponiendo términos semejantes:

2  + 2  − 3  < 1 + 3

  < 4

Por consiguiente el conjunto solución para x son todos los valores menores

que 4.

Solución por intervalo: (−∞, 4)

Gráficamente: )  

5. Resolviendo una inecuación lineal con fracciones algebraicas

"

−

"

>

Solución.

Multiplicando en cruz el primer miembro:

(x + 3)(x + 2) − 12

3(x + 2) >

x

3

Multiplicando por 3 a ambos lados y simplificando:

#

(x + 3)(x + 2) − 12

(x + 2) $ > %

x

3

&

(x + 3)(x + 2) − 12

(x + 2) >  

Pasando x al primer miembro y multiplicando en cruz en el mismo:

(x + 3)(x + 2) − 12

(x + 2)

− x > 0

(x + 3)(x + 2) − 12 − x(x + 2)

(x + 2)

> 0

Efectuando operaciones algebraicas en el numerador y simplificando:

x

! + 2x + 3x + 6 − 12 − x! − 2x

(x + 2)

> 0

3x − 6

(x + 2)

> 0

3(x − 2)

(x + 2)

> 0 , ahora multiplicando por

1

3

a ambos lados, quedando 8inalmentes:

(x − 2)

(x + 2)

> 0

Observación: a diferencia de los ejemplos anteriores no se puede

multiplicar a ambos lados (x + 2) puesto que se estaría eliminando una

solución.

Así que el paso a seguir es sacar los valores críticos (valores que anulan el

numerador y denominador) los cuales se obtienen igualando a cero tanto al

numerador como al denominador por separado, de la siguiente manera:

 − 2 = 0 ;<=><?;@   = 2

x + 2 = 0 ;<=><?;@   = −2

Los valores críticos son: x = 2 y x = -2. (Éstos se ubican en la recta

numérica)

Aplicando el “método del cementerio” podemos obtener la solución del

mismo:

− − − − − − − − − − − + + + + + + + +

(  − 2)

− − − − − − − + + + + + + + + + + + +

(  + 2)

(+) (−) (+)

AB!

A"!

) [

-2 2

Ahora como la inecuación es mayor que cero, entonces el conjunto de

soluciones consiste de todos los números reales en el intervalo (−∞, −2) ∪

[2, ∞). Nótese que el valor de -2 en la solución no se incluye puesto que éste

hace cero al denominador.

0

0

0

-2

2  

6. Resolviendo una inecuación con fracciones algebraicas

!

A

E"A

>

!

A

EBA

+

F

A

EBG

Solución

Factorizando cada una de las expresiones del denominador:

2

x(x + 1) >

2

x(x − 1) +

3

(x − 1)(x + 1)

Sacando el m.c.m (mínimo común múltiplo) al segundo miembro:

x(x − 1)(x + 1)

2

x(x + 1) >

2(x + 1) + 3x

x(x − 1)(x + 1)

Pasando el segundo miembro al primero y realizando los cálculos y

simplificaciones respectivas: