Question

Hallar el conjunto de verdad del predicado: r(x):(√(x+4)+√(x-4))/(√(x+4)-√(x-4))=x-3

Answer 1

El conjunto de verdad es x = 4 o x = 5

Tenemos la expresión:

$\frac{\sqrt{x+4} +\sqrt{x-4} }{\sqrt{x+4} -\sqrt{x-4}} = x-3$

Multiplicamos y dividimos el lado izquierdo por el conjugado del denominador:

$\frac{\sqrt{x+4}+\sqrt{x-4}}{\sqrt{x+4} -\sqrt{x-4}}*\frac{\sqrt{x+4} +\sqrt{x-4}}{\sqrt{x+4} +\sqrt{x-4}}= x-3$

Multiplicando factores iguales y usando la propiedad (a-b)*(a+b) = a²-b²

$\frac{(\sqrt{x+4} +\sqrt{x-4})^{2}}{(\sqrt{x+4})^{2} -(\sqrt{x-4})^{2}}= x-3$

$\frac{(\sqrt{x+4})^{2} +2\sqrt{x+4}\sqrt{x-4} +(\sqrt{x-4})^{2}}{x+4 -x+4}= x-3$

$\frac{x+4+2*\sqrt{(x+4)*(x-4)} +x-4}{8}= x-3$

$\frac{2x+2*\sqrt{(x+4)(x-4)}}{8}= x-3$

$\frac{x+\sqrt{(x+4)(x-4)}}{4}= x-3$

$x+\sqrt{(x+4)(x-4)}}= 4x-12$

$\sqrt{(x+4)(x-4)}}= 3x-12$

$(x+4)(x-4)= (3x-12)^{2} = 9x^{2} -72x+144$

$x^{2}-16= 9x^{2} -72x+144$

$8x^{2} -72x+160$

Si calculamos las raíces son:

x = 4, y x = 5

Entonces el conjunto de verdad es x = 4 o x = 5