Question

Hallar el centroide (x ̅,y ̅ ) de la región limitada por la curva y=x^2 y la rectay=x+2.

Answer 1

Primero veamos cuáles son las abscisas de los puntos de intersección
                          $x^2=x+2\\ \\ x^2-x-2=0\\ \\ (x-2)(x+1)=0\\\\ \boxed{x=-1\vee x=-1}$

Segundo hallemos el área de la región
                 $\displaystyle A=\int_{-1}^2x+2-x^2\,dx\\ \\ A=\left.\left(\frac{x^2}{2}+2x-\dfrac{x^3}{3}\right)\right|_{-1}^2\\ \\ A= \left(\frac{2^2}{2}+2(2)-\dfrac{2^3}{3}\right)-\left(\frac{(-1)^2}{2}+2(-1)-\dfrac{(-1)^3}{3}\right)\\ \\ \boxed{A= \dfrac{9}{2}}$

Luego hallemos los momentos respecto de los ejes
EJE X
Sección transversal: $c(x)=x+2-x^2$

$\displaystyle M_x=\int _{-1}^2x\cdot c(x)\, dx\\ \\ M_x=\int _{-1}^2x (x+2-x^2)\, dx\\ \\ M_x=\int _{-1}^2x^2+2x-x^3\, dx\\ \\ \\ \boxed{M_x=\dfrac{9}{4}}$

EJE Y
Sección transversal: 
                         $c_1(y)=2\sqrt{y} \;,\; y\in [0,1]$
                       $c_2(y)=\sqrt{y}+2-y\;,\; y\in [1,4]$
                      
Entonces

$\displaystyle M_y=\int_{0}^{4}y\cdot c(y)\,dy=\int_{0}^{1}y\cdot c_1(y)\,dy+\int_{1}^{2}y\cdot c_2(y)\,dy\\ \\ \\ M_y=\int_{0}^{1}2y\sqrt{y}\, dy +\int_{1}^{4}y\sqrt{y}+2y-y^2\,dy\\ \\ \\ \boxed{M_y=\dfrac{36}{5}}$


Finalmente los centros de masa

$\overline{x}=\dfrac{9/4}{9/2}=\dfrac{1}{2}\\ \\ \\ \overline{y}=\dfrac{36/5}{9/2}=\dfrac{8}{5}$