Question

Hallar el área del rectángulo de vértices los puntos de intersección de la elipse
$\frac{ {x}^{2} }{ {a}^{2} } + \frac{ {y}^{2} }{ {b}^{2} } = 1$
con las bisectrices de los ángulos formados por los ejes coordenados.

Porfavor, no es tarea, era una pregunta de un examen que por ahora no entiendo cómo responder :(

Answer 1

¡Buenas!

Para resolver el problema primero debemos esbozar nuestra elipse, este primer paso nos ayudará enormemente con el desarrollo del problema.

$\textrm{Condici\'on} \\ \\ a > b > 0$

Una vez dibujada nuestra elipse (ver archivo 1), procedemos a dibujar las bisectrices de los ángulos formados por los ejes coordenados, es decir, sabemos que los ejes coordenados (ejes X e Y) son perpendiculares entre sí, o sea forman noventa grados, por ende la bisectriz dividirá este ángulo en dos partes iguales (ver archivo 1)

Los puntos en amarillo representan la intersección de la elipse con las bisectrices de los ejes coordenados.

Curiosamente el resultado de unir estos puntos amarillos nos da un rectángulo (ver archivo 1) que tiene obviamente por vértices estos puntos amarillos, y no solo eso, la figura formada es un cuadrado (más adelante demostraremos porqué).

Ahora haremos un análisis acerca de las rectas de color celeste, es decir, la rectas que son bisectrices de los ángulos formados por los ejes coordenados.

Estas dos rectas son muy conocidas, cada una de ellas representa una función lineal en especifico. (ver archivo 2)

La recta de color de rojo representa la función $y = x$ , mientras que la recta de color azul representa la función $y = -x$ como esta en el archivo 2, entonces debido a que la gráfica de estas dos rectas intercepta a nuestra elipse en cuatro puntos (los puntos amarillos), entonces específicamente en dichos puntos verifican ambas ecuaciones.

Analicemos entonces la intersección de la primera recta ( $y=x$ ) con la elipse. (ver archivo 3)

$y=x \\ \\ \dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \\ \\ \textrm{De ambas ecuaciones suponemos} \\ \\ \dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{x^{2}}{b^{2}} = 1 \\ \\ b^{2} x^{2} + a^{2} x^{2} = a^{2}b^{2} \\ \\ x^{2}(a^{2}+b^{2}) = a^{2} b^{2} \\ \\ x^{2} = \dfrac{a^{2} b^{2}}{(a^{2}+b^{2})}$

$x = \pm \dfrac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

Ubicamos en nuestra gráfica la distancia de dicha intersección (ver archivo 4), el rectángulo naranja indica un ángulo de noventa grados.

Analicemos ahora la intersección de la segunda recta ( $y = - x$ ) con la elipse.

$y = - x \\ \\ \dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \\ \\ \boxed{(-x)^{2} = x^{2}} \\ \\ \textrm{De ambas ecuaciones suponemos} \\ \\ \dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{x^{2}}{b^{2}} = 1 \\ \\ b^{2} x^{2} + a^{2} x^{2} = a^{2}b^{2} \\ \\ x^{2}(a^{2}+b^{2}) = a^{2} b^{2} \\ \\ x^{2} = \dfrac{a^{2} b^{2}}{(a^{2}+b^{2})}$

$x = \pm \dfrac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

De manera análoga nos damos cuenta que las distancias son iguales (ver archivo 5)

Entonces, la figura final resulta ser un cuadrado, de lado $\dfrac{2ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

Cuya área se calcula de la siguiente manera:

$\textrm{Area} = \left( \dfrac{2ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right)^{2} \\ \\ \\ \textrm{Area} = \dfrac{4(a^{2})(b^{2})}{a^{2}+b^{2}}$

RESPUESTA

$\boxed{ \dfrac{4(a^{2})(b^{2})}{a^{2}+b^{2}}}$