Hallar el área del círculo cuya ecuación es 9 x al cuadrado + 9y al cuadrado + 72 x- 12y + 103 = 0
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5
Primero veamos el desarrollo de dos binomios que vamos a usar para trabajar esta ecuación
De modo que tomaremos la ecuación del problema y le sumaremos estratégicamente, a ambos lados, "45"
Ahora separamos el "148" en "144+4", esta suma es pura estrategia matemática y se la conoce como completar cuadrados
Luego ordenamos la ecuación y nos queda
Considerando los dos desarrollos que hicimos al principio podemos escribir
Dividiendo a ambos lados por "9" nos queda
La ecuación de cualquier circunferencia es
En donde e son los corrimientos del centro y es el radio de la circunferencia
Si comparamos la ecuación a la que llegamos, con la de la circunferencia, notamos que son equivalentes, por lo tanto el radio de esta circunferencia será
Por último, el área de la circunferencia se calcula como
Por lo tanto el área de la circunferencia del problema es exactamente o aproximadamente y con eso ya estamos
De modo que tomaremos la ecuación del problema y le sumaremos estratégicamente, a ambos lados, "45"
Ahora separamos el "148" en "144+4", esta suma es pura estrategia matemática y se la conoce como completar cuadrados
Luego ordenamos la ecuación y nos queda
Considerando los dos desarrollos que hicimos al principio podemos escribir
Dividiendo a ambos lados por "9" nos queda
La ecuación de cualquier circunferencia es
En donde e son los corrimientos del centro y es el radio de la circunferencia
Si comparamos la ecuación a la que llegamos, con la de la circunferencia, notamos que son equivalentes, por lo tanto el radio de esta circunferencia será
Por último, el área de la circunferencia se calcula como
Por lo tanto el área de la circunferencia del problema es exactamente o aproximadamente y con eso ya estamos
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2
Para encontrar el área de una circunferencia usamos la formula:
π*r^2 donde r es el radio de la circunferencia.
Entonces debemos encontrar el área de la circunferencia.
Debemos llevar la ecuación general que nos dan aquí a la ecuación canónica, la cual tiene la forma: (x - h)^2 + (y - f)^2 = r^2 donde r es el radio de la circunferencia.
Para llevarla a ecuación canónica, completamos cuadrados, de esta forma:
9x^2 + 9y^2 + 72x - 12y + 103 = 0 dividimos para nueve ambos miembros y es igual a:
x^2 + y^2 + 8x + (12/9)y + (103/9) = 0, entonces agrupamos y completamos cuadrados:
x^2 + y^2 + 8x + (12/9)y + (103/9) = 0 es
(x^2 + 8x + ... ) + (y^2 + (12/9)y + ... ) + (103/9) - ... - ... = 0 donde los espacios ... serán llenados con números tales que completen cuadrados.
Por formula de suma y diferencia de cuadrados:
(a ± b)^2 = (a^2 ± 2*a*b + b^2) así
(x^2 + 8x + ... ) + (y^2 + (12/9)y + ... ) + (103/9) - ... - ... = 0 es:
(x^2 + 2*x*4 + ... ) + (y^2 + 2*y*(6/9) + ... ) + (103/9) - ... - ... = 0 entonces llenos los espacios así:
(x^2 + 2*x*4 + 4^2 ) + (y^2 + 2*y*(6/9) + (6/9)^2 ) + (103/9) - 4^2 - (6/9)^2 = 0
Agrupando y operando algebráicamente formula queda:
(x + 4)^2 + (y - (6/9))^2 = 5
comparando con la ecuación canónica el radio de esta circunferencia es √5
Entonces su área sería:
π*r^2 = π*(√5)^2 = π*5 = 5π
Area = 5π
π*r^2 donde r es el radio de la circunferencia.
Entonces debemos encontrar el área de la circunferencia.
Debemos llevar la ecuación general que nos dan aquí a la ecuación canónica, la cual tiene la forma: (x - h)^2 + (y - f)^2 = r^2 donde r es el radio de la circunferencia.
Para llevarla a ecuación canónica, completamos cuadrados, de esta forma:
9x^2 + 9y^2 + 72x - 12y + 103 = 0 dividimos para nueve ambos miembros y es igual a:
x^2 + y^2 + 8x + (12/9)y + (103/9) = 0, entonces agrupamos y completamos cuadrados:
x^2 + y^2 + 8x + (12/9)y + (103/9) = 0 es
(x^2 + 8x + ... ) + (y^2 + (12/9)y + ... ) + (103/9) - ... - ... = 0 donde los espacios ... serán llenados con números tales que completen cuadrados.
Por formula de suma y diferencia de cuadrados:
(a ± b)^2 = (a^2 ± 2*a*b + b^2) así
(x^2 + 8x + ... ) + (y^2 + (12/9)y + ... ) + (103/9) - ... - ... = 0 es:
(x^2 + 2*x*4 + ... ) + (y^2 + 2*y*(6/9) + ... ) + (103/9) - ... - ... = 0 entonces llenos los espacios así:
(x^2 + 2*x*4 + 4^2 ) + (y^2 + 2*y*(6/9) + (6/9)^2 ) + (103/9) - 4^2 - (6/9)^2 = 0
Agrupando y operando algebráicamente formula queda:
(x + 4)^2 + (y - (6/9))^2 = 5
comparando con la ecuación canónica el radio de esta circunferencia es √5
Entonces su área sería:
π*r^2 = π*(√5)^2 = π*5 = 5π
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