Question

Hallar el área de una región R representada por 2 integrales iteradas. Que se esta bajo la parábola: y=4x-x^2, sobre el eje X y sobre la recta y=-3x+6

Answer 1

Hola,
Para estos ejercicios siempre es bueno graficar, ya que te da una idea de la Región que buscas.Primero realizas la intersección entre ambas curvas, igualando las imagenes,

y = 4x - x² 
y = -3x + 6

4x - x² = -3x + 6

x² - 7x + 6 = 0

(x-1)(x-6) = 0

Soluciones,
x₁ = 1 , x₂ = 6

Ya tenemos los límites de integración en el eje x, el área de una región es :
$S = \int\limits^d_c \int\limits^b_adA$
Estamos trabajando en coordenadas cartesianas, por lo tanto, nuestro diferencial de área (dA) es dxdy .

$S = \int\limits^d_c \int\limits^b_adxdy$

Sabemos que en el eje x tenemos que integrar desde x=1 a x= 6 .

Ahora tenemos que ver desde donde a donde integramos en el eje y,el área que buscamos está entre las dos funciones,entonces integraremos en el eje y , desde la recta hasta la parábola. Por lo tanto la integral iterada queda :

$S = \int\limits^6_1 \int\limits^{4x-x^{2}}_{-3x+6}dydx$

Resolvemos la primera integral iterada (la "de más adentro") sobre dy, entonces quedaría :

$S = \int\limits^6_1 (4x-x^{2})- (-3x+6)dx$

Ahora solo queda resolver esta integral,


$S = \int\limits^6_1 (4x-x^{2})- (-3x+6)dx = \int\limits^6_1 (-x^{2}+7x-6)dx\\ \\ S = ( \frac{-x^{3}}{3} + \frac{7x^{2}}{2} - 6x)|^{6}_{1}$

Evaluando queda,

$\boxed{S= \frac{125}{6}}$

Esa sería el área entre ambas curvas,

Salu2 :).