Question

Hallar el área de la superficie comprendida entre las dos parábolas:
y^2=2px
x^2=2py

Answer 1

RESPUESTA:

Para resolver el problema aplicaremos el método de integración para calcular el área, tal que:

A = ∫ₐᵇ [f(x) - g(x)] dx

Donde:

A = área

a,b = limite inferior y superior

f(x) = función superior

g(x) = función inferior

Sea p cualquier valor real, para este caso asumiremos el valor de 1, entonces:

→ y² = 2x ---------> x = y²/2

→ x² = 2y ---------> x = √(2y)

Buscamos los puntos de intersección igualando las ecuaciones:

y²/2 = √(2y)

Elevamos ambos lados al cuadrado:

(y²/2)² = (√(2y))²

y⁴/4 = 2y

y⁴/4 - 2y = 0

                       → y₁ = 0

y(y³/4 - 2) = 0

                        → y³/4-2 =0 ---> y₂ = 2

Por tanto los puntos de intersección son P₁(0,0) y P₂(2,2). Planteamos la integral:

A = ∫₀² [√2x - x²/2] dx

Resolvemos la integral

I = ∫ [√2x - x²/2] dx = 3/2·√(2x³) - x³/6

Evaluamos en limite superior menos inferior:

A = 3/2·√(2·2³) - 2³/6 - [3/2·√(2·0³) - 0³/6]

A = 14/3 ≈ 4.6667 u²

Por tanto el área será de 4.667 u² para cuando p=1, para otros valores de p el proceso es el mismo. Adjunto vemos la imagen.