Question

Hallar el área de la región del triángulo cuyas coordenadas de sus vértices son:
A (-2;-1), B (-3;5) y C(7;-1)

Answer 1

El área del triángulo es de 27 unidades cuadradas

 

El problema trata de hallar el área de un polígono en el plano cartesiano, conociendo las coordenadas de sus vértices

En este caso se trata de un triángulo por lo tanto tenemos coordenadas para sus tres vértices

Donde lo resolveremos de una manera sencilla con una simple fórmula

Sean 3 puntos en el plano

$\boxed {\bold { P_{1} (x_{1} ,y_{1} \ ),\ P_{2} (x_{2} ,y_{2} ) \ , \ P_{3} (x_{3} ,y_{3} )}}$

El área del triángulo se halla a partir de

$\boxed {\bold {A =\frac{ [x_1 y_2+x_2 y_3+x_3 y_1 ]- [x_1 y_3+x_3 y_2+x_2 y_1 ] }{2} }}$

Donde se toma la primera coordenada x y se la multiplica por la segunda coordenada y, luego se toma la segunda coordenada x y se la multiplica por la tercera coordenada y para tomar luego la tercera coordenada x y multiplicarla por la primera coordenada y. Donde de la sumatoria de esos productos se obtendrá un valor

Y se hace el mismo procedimiento tomando la primera coordenada x y se la multiplica por la tercera coordenada y, luego se toma la tercera coordenada x y se la multiplica por la segunda coordenada y, para finalmente tomar la segunda coordenada x y se la multiplica por la primera coordenada y. Donde nuevamente la sumatoria de esos productos dará un segundo valor

Donde se restan ambos valores obtenidos y se divide entre dos, y se halla el área del triángulo en este caso

Otro método empleado es construir una especie de matriz, apilando las coordenadas de los vértices y repitiendo el primer vértice al final de la matriz

En donde  

Se trazan diagonales hacia abajo y a la derecha y se multiplica cada par de números conectados por un trazo, en donde se sumarán todos los productos

Y se repite el mismo procedimiento con trazos diagonales desde abajo y hacia la derecha. Donde nuevamente se sumarán todos los productos

Finalmente se halla la diferencia entre ambas cantidades y tomamos el valor absoluto. Donde dividiendo entre dos se obtiene el área del triángulo

Se puede observar este método en el gráfico adjunto.

$A =\dfrac{\begin{vmatrix} x_1 & y_1\\ x_2 & y_2 \\ x_3 &y_3\\ x_1 & y_1 \end{vmatrix}}{2}$

Donde se reemplazarían los valores de los puntos, y se determina el área del triángulo

Siendo ambos métodos de resolución válidos

Solución

Dados los tres vértices del triángulo

$\boxed{\bold { A(-2,-1)\ ,\ B(-3,5) \ ,\ C(7,-1)}}$

Emplearemos la fórmula

$\boxed {\bold {A =\frac{ [x_1 y_2+x_2 y_3+x_3 y_1 ]- [x_1 y_3+x_3 y_2+x_2 y_1 ] }{2} }}$

Reemplazamos los valores

$\boxed {\bold {A =\frac{ [ (-2)(5)+(-3)(-1)+(7)(-1)]- [(-2)(-1)+(7)(5)+(-3)(-1)] }{2} }}$

Operando

$\boxed {\bold {A =\frac{ [-10+3-7]- [2+35+3] }{2} }}$

$\boxed {\bold {A =\frac{ [-14]- [40] }{2} }}$

$\boxed {\bold {A =\frac{ 14 +40 }{2} }}$

$\boxed {\bold {A =\frac{ 54 }{2} }}$

$\large\boxed {\bold {\'Area \ Tri\'angulo = 27 \ u^{2} }}$

El área del triángulo es de 27 unidades cuadradas