Question

hallar ecuación canónica y general de la elipse conociendo el centro(4,5) y excentricidad 1/2

Answer 1

Ecuacion de la elipse. La ecuacion canonica de la elipse cuyo centro es (4,5) y e=1/2 es $\frac{(x-4)^{2} }{7.023} +\frac{(y-5)^{2} }{6.08}=1$

• La elipse es una figura curva y cerrada que tiene la forma de un circulo achatado.
• La excentricidad de la elipse es el valor que determina la forma de la elipse, en cuanto a si es mas redondeada o se aproxima a un segmento. Si esta es 0 se dice que es una circunferencia.
• La excentricidad es el cociente $e=\frac{c}{a}$ donde a es el semieje mayor y c la distancia del centro a los focos.
• La ecuacion canonica de la elipse es $\frac{(x-xo)^{2} }{a^{2} }+\frac{(y-yo)^{2} }{b^{2} }=1$.
• Tenemos el punto del centro, aplicamos en la ecuacion ordinaria para hallar a y b: $\frac{4^{2} }{a^{2} } +\frac{5^{2} }{b^{2} }=1$
• Necesitamos otra ecuacion para hallar a y b, aprovechamos que conocemos la excentricidad que es 3/5. La ecuacion que relaciona la excentricidad con a es $e=\frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}  } }{a}=\frac{1}{2}$
• Despejamos "a" de la anterior: $\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{a^{2} -b^{2} }}{a}</li><li>[tex]\frac{1}{4}=\frac{a^{2-b^{2} } }{a^{2} }\\\frac{a^{2} }{4}=a^{2}-b^{2}\\a^{2}=4a^{2}-4b^{2}\\      4b^{2}=3a^{2}\\  a=\frac{2b}{\sqrt{3} }$
• Aplicando en la ecuacion ordinaria tenemos $\frac{16}{a^{2} }+\frac{25}{b^{2} }=1\\\frac{16}{\frac{4b^{2} }{3} }+\frac{25}{b^{2} } =1\\frac{12}{b^{2} }+\frac{25}{b^{2} }=1\\     37=b^{2}\\ b=6.08$
• Entonces a es $a=\frac{2*6.08}{\sqrt{3} }=\frac{12.165}{1.732}= 7.023$
• La ecuacion canonica queda: $\frac{(x-4)^{2} }{7.023}+\frac{(y-5)^{2} }{6.08}=1$