Question

Hallar dos números positivos tales que la suma del segundo número con el cuadrado del primero es 54 y que el producto sea máximo

Answer 1

Respuesta: x=4,2426 y=36

Explicación paso a paso: Vamos a llamar x e y a los dos números y z al producto de ambos. Según el enunciado, sabemos que:

$y+x^{2} =54$

$xy=z$

Para hallar el máximo de z, debemos hallar la derivada de xy. Para ello, despejamos primero la y en la primera ecuación:

$y=54-x^{2}$

Sustituimos en la segunda y simplificamos:

$x(54-x^{2} )=z$

$z=-x^{3} +54x$

Hallamos la derivada de z:

$-3x^{2} +54$

El máximo de la función se encuentra igualando a cero la derivada:

$-3x^{2} +54=0$

Resolvemos la ecuación despejando la x:

$-3x^{2} =-54\\x^{2} =-54/-3\\x=\sqrt{18} \\x=4,2426\\x=-4,2426$

Para saber cual las dos x es el máximo, sustituimos en la función original:

Con x = 4,2426: $z=-(4,2426)^{3} +54*(4,2426) = 305,4657$

Con x = -4,2426: $z=-(-4,2426)^{3} + 54 * (-4,2426) = -152,73$

Claramente, el mayor es con x=4,2426, por tanto este es el número que estamos buscando. Sustituimos en la primera ecuación para hallar la y:

$y+(4,2426)^{2}=54$

$y=54-(4,2426^{2}) = 54 - 18 = 36$