Question

Hallar dos números positivos sabiendo que su diferencia es igual a 3 y que la suma de sus recíprocos es de 1/2

Answer 1

Respuesta:

Números positivos : 6 y 3

Explicación:

la diferencia (o sea la resta) de los dos es = 3:

6-3 = 3

el reciproco de "6" es $\frac{1}{6}$ y el reciproco de "3" es $\frac{1}{3}$ , entonces:

la suma de ellos dos = $\frac{1}{2}$ :

$\frac{1}{6}$ +  $\frac{1}{3}$ ⇒ $\frac{1+2}{6}$ ⇒ $\frac{3}{6}$ ⇒ $\frac{\frac{3}{3} }{\frac{6}{3} }$ ⇒ $\frac{1}{2}$ ║

Answer 2

         Ecuación de segundo grado

Escritura algebraica

Sean los dos números

                                               $x, \ y, \ con \ x>y$

sus recíprocos son

                                                    $\displaystyle \frac{1}{x} , \ \frac{1}{y}$

La condición de que su diferencia sea 3 se escribe algebraicamente

[1]                                                $x-y=3$

Y condición de que la suma de sus recíprocos es de 1/2,

[2]                                             $\displaystyle \frac{1}{x} + \ \frac{1}{y} = \frac{1}{2}$

Solución

De [1] se obtiene que

{3]                                                    $x = 3+y$

Y multiplicando ambos miembros de [2] por 2xy para quitar los denominadores:

                                      $\displaystyle \frac{2xy}{x} + \ \frac{2xy}{y} = \frac{2xy}{2}$

o sea

                                              $2y + 2x = xy$

y sustituyendo el valor de x que figura en [3]_

                                    $2y + 2(3+y) = y(3+y)$

Operando,

                                    $2y + 6+2y = 3y + y^2$

y ordenando,

                                        $y^2-y-6=0$

ecuación de segundo grado cuyas soluciones son

                    $\displaystyle y = \frac{-b\ñ\sqrt{b^2-4ac } }{2a} = \frac{1 \ñ\sqrt{1+24 } }{2} = \frac{1\ñ5}{2}$

o sea, las raíces son 3 y -2, pero como se piden que sean números positivos, la única raíz válida es 3. Y como según [3] x = 6,

los dos números pedidos son 3 y 6.

Prueba

$6-3 = 3\\\\\displaystyle \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3}{6} =\frac{1}{2}$

Ok.

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