Hallar dos números cuya suma de cuadrados es igual a 100 y cuyo producto sea máximo.
Respuestas a la pregunta
Hallar dos números cuya suma de cuadrados es igual a 100 y cuyo producto sea máximo.
Hola!!!
Datos:
x² + y² = 100
x × y = Máximo
Hay 2 formas de resolver este problema:
1)
Calcular máximos de funciones de dos variables. Expresamos el producto como función de una variable:
x² + y² = 100 ⇒
y² = 100 - x² ⇒
y = √100- x²
f(x) = x × y
f(x) = x × √100 -x²
Con la función f(x) hallamos la Derivada para poder hallar el Máximo, teniendo en cuenta que según el enunciado nos indica que su producto es Máximo.
f(x) = x × √100 -x² ⇒
f'(x) = (x)' × √100 -x² + x × (√100 - x²)'
f'(x) = √100 -x² + x × -2x/2√100 -x²
f'(x) = √100 -x² -2x²/√100 -x²
f'(x) = √100 -x² - x²/√100 -x² = 0 ( Hallar Máximo )
Simplificamos: Común denominador:
f'(x) = √100 -x²)×(√100 -x²) - x²/√100 -x²
f'(x) = (100 - x² - x²)/√100 -x²
f'(x) = (100 -2x²)/√100 -x² = 0
100 -2x²/√100 -x² = 0 ⇒
100 - 2x² = 0
100 = 2x² ⇒ x² = 100/2 ⇒ x² = 50 ⇒
x = √50
y = √100- x²
y = √100 -(√50)²
y = √100 -50
y = √50
x = y = √50
2) Otra forma de resolverlo:
x² + y² = 100
x² + y² = 10² ⇒ Esta ecuación corresponde a una circunferencia de Centro en el origen y radio = 10.
El Producto x × y equivale al área de un rectángulo inscripto en la circunferencia.
Sabemos que el rectángulo de área máxima es el cuadrado ⇒ podemos deducir que: x = y
x² + y² = 100 ⇒
x² + x² = 100
2x² = 100 ⇒
x² = 100/2 ⇒ x² = 50 ⇒
x = √50
x = y = √50
Por Cualquiera de las 2 maneras llegamos al mismo resultado.
Espero haber ayudado!!!
Saludos!!!