Question

Hallar centro y Radio
x²+y²-10x-10y+25=0
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Answer 1

La circunferencia tiene su centro en C (5,5) y su radio r es de 5 unidades

Solución

Sea

$\large\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}- 10 x -10y+ 25 = 0 }}$

Se tiene la ecuación de la circunferencia expresada en la forma general la cual está dada por:

$\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}- 10 x -10y+ 25 = 0 }}$

La ecuación general de la circunferencia responde a la forma:

$\large\boxed{\bold {Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+F=0}}$

Como se solicita hallar el centro y el radio de la circunferencia debemos convertir la ecuación de la circunferencia de la forma general a la forma ordinaria

La ecuación ordinaria de la circunferencia está dada por:

$\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}$

Donde (h, k) son las las traslaciones horizontal h y vertical k que representan el centro del círculo. Y donde la distancia entre el centro y cada punto del círculo es igual a la longitud del radio.

La variable r representa el radio del círculo, h representa la distancia X desde el origen y k representa la distancia Y desde el origen

Sea

$\large\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}- 10 x -10y+ 25 = 0 }}$

Lo primero que hacemos es pasar 25 al lado derecho de la ecuación cambiando su signo

$\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}- 10 x -10y = -25 }}$

Ordenamos los términos de la ecuación escribiendo primero los términos que contienen la literal x y al final los términos que contienen a la literal y

$\boxed{ \bold { x^{2} -10 x + y^{2} -10y = -25 }}$

Completamos los trinomios de los cuadrados perfectos

Comenzamos completando el cuadrado para $\bold { x^{2} - 10x}$

Nos fijamos en el coeficiente del término que acompaña a la x con exponente 1

El cual es 10. Luego obtenemos la mitad de ese número

$\bold {\frac{10}{2}= 5 }$

Aún nos falta un coeficiente, luego elevamos 5 al cuadrado

$\bold { 5^{2} = 25 }$

Por tanto al completar el cuadrado para $\bold { x^{2} - 10x}$

Se obtiene

$\bold { x^{2} - 10x + 25}$

Volvemos a la ecuación de la circunferencia:

$\boxed{ \bold { x^{2} -10 x + y^{2} -10y = -25 }}$

Luego reemplazamos a $\bold { x^{2} - 10x}$ por $\bold { x^{2} - 10x + 25}$

Donde dado que agregamos un 25 a la ecuación colocamos también un 25 al otro lado de la ecuación para mantener la igualdad

Resultando en:

$\boxed{ \bold { x^{2} -10x + 25 + y^{2} -10y = -25 +25 }}$

Ahora completamos el cuadrado para $\bold { y^{2} - 10y}$

Nos fijamos en el coeficiente del término que acompaña a la y con exponente 1

El cual es 10. Luego obtenemos la mitad de ese número

$\bold {\frac{10}{2}= 5 }$

Aún nos falta un coeficiente, luego elevamos 5 al cuadrado

$\bold { 5^{2} = 25 }$

Por tanto al completar el cuadrado para $\bold { y^{2} - 10y}$

Se obtiene

$\bold { y^{2} - 10y+ 25}$

Volvemos a la ecuación de la circunferencia:

$\boxed{ \bold { x^{2} -10x + 25 + y^{2} -10y = -25 +25 }}$

Luego reemplazamos a  $\bold { y^{2} - 10y}$ por $\bold { y^{2} - 10y+ 25}$

Donde dado que agregamos 25 a la ecuación colocamos también un 25 al otro lado de la ecuación para mantener la igualdad

Resultando en:

$\boxed{ \bold { x^{2} -10x + 25 + y^{2} -10y+25 = -25 +25 +25 }}$

$\bold { x^{2} - 10x+ 25}$

y

$\bold { y^{2} - 10y+ 25}$

Factorizamos aplicando la regla del trinomio del cuadrado perfecto

$\bold { x^{2} - 10x+ 25}$

$\bold { a^{2} - 2ab+ b^{2} = (a- b)^{2} }$

$\bold { x^{2} -10x+ 25= (x-5)^{2} }$

$\bold { y^{2} - 10y+ 25}$

$\bold { a^{2} - 2ab+ b^{2} = (a- b)^{2} }$

$\bold { y^{2} - 10y+25 = (y-5)^{2} }$

En la ecuación de la circunferencia reemplazamos:

$\boxed{ \bold { x^{2} -10x + 25 + y^{2} -10y+25 = -25 +25 +25 }}$

$\boxed{ \bold { (x-5)^2+(y-5)^2= -25+25+25 }}$

$\large\boxed{ \bold { (x-5)^2+(y-5)^2=25 }}$

Centro:

Podemos decir que la circunferencia tiene su centro en:

$\large\boxed{ \bold {C = (5,5) = (h,k) }}$

Radio:

Para hallar el radio podemos decir que 25 = r², lo que resulta en:

$\large\boxed{ \bold {r = 5 }}$

Por lo tanto la circunferencia tiene su centro en C (5,5) y su radio r es de 5 unidades