Question

hallamos la ecuación de la elipse en la cual un vértice es v (3;2) el foco opuesto F (11;2) y la longitud de su eje menor es 8.​

Answer 1

La ecuación general de la elipse, cuya gráfica se anexa, es:

16x²  +  25y²  -  256x  -  100y  +  724  =  0

¿Cuál es la ecuación canónica de una elipse de eje mayor horizontal?

La ecuación canónica de una elipse de eje mayor horizontal viene dada por las expresión:

$\bold{\dfrac{(x~-~h)^2}{a^2}~+~\dfrac{(y~-~k)^2}{b^2}~=~1}$

donde:

• (h, k)  centro de la elipse
• a    distancia del centro al vértice sobre el eje mayor
• b    distancia del centro al vértice sobre el eje menor

La elipse dada tiene un vértice en el punto  (3, 2)  y un foco (opuesto) en el punto  (11, 2).  Esto significa que el eje mayor es horizontal y que la coordenada    k  =  2.

La longitud del eje menor es  8,  lo que implica que la distancia  b  =  4.

Sabemos que:

Distancias:        a²  =  b²  +  c²          ⇒          a²  =  (4)²  +  c²

Foco:        (h  +  c, k)  =  (11, 2)

Vértice:        (h  -  c, k)  =  (3, 2)

Con esta información, vamos a construir un sistema de ecuaciones:

a²  =  16  +  c²

h  +  c  =  11

h  -  a  =  3

Resolvemos por el método de sustitución, despejando  h  de la tercera ecuación, sustituyendo en la segunda para despejar  c  en función de  a  y luego sustituir  a  en la primera ecuación.

h  -  a  =  3          ⇒          h  =  3  +  a

(3  +  a)  +  c  =  11          ⇒          c  =  8  -  a          ⇒

a²  =  16  +  (8  -  a)²          ⇒          a²  =  a²  -  16a  +  80          ⇒

a  =  5          ⇒          h  =  8          ⇒          c  =  3

Sustituimos en la ecuación canónica

$\bold{\dfrac{(x~-~8)^2}{(5)^2}~+~\dfrac{(y~-~2)^2}{(4)^2}~=~1\qquad\Rightarrow\qquad}$

16(x  -  8)²  +  25(y  -  2)²  =  400

16x²  +  25y²  -  256x  -  100y  +  724  =  0

La gráfica está anexa.

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