Question

Halla x si el MCM de: A=
${64}^{x} \times {18}^{x}$
y B=
${36}^{x} \times 9$
es
${2}^{21} \times {3}^{8}$
Ayudenme plisss​

Answer 1

Hay que saber aplicar bien las reglas de potenciación, sobre todo la de "potencia de otra potencia" que es igual al producto de exponentes así como "producto de potencias con la misma base" que es igual a la suma de sus exponentes.

Lo hago por partes empezando por el nº A cuyas bases pueden descomponerse en números primos:

$64^{x} \times 18^{x} =\\ \\ = (2^6)^{x} \times (2\times3^2)^x=\\ \\ =2^{6x} \times(2\times3^2)^x=\\ \\ =2^{6x} \times2^x \times 3^{2x} =\\ \\ =2^{7x} \times3^2^x$

Continuo con el nº B donde hago lo mismo:

$36^x\times 9=\\ \\ =(2^2\times3^2)^x\times3^2=\\ \\ =2^{2x} \times 3^{2x} \times 3^2=\\ \\ =2^{2x} \times 3^{2x+2}$

Una vez descompuestas las bases en sus factores primos, hemos de recordar cómo se calcula el mcm de dos números.

Es el producto del factor o factores no comunes y los comunes elevados a los mayores exponentes.

Fíjate que en los dos números tenemos las mismas bases (2 y 3) así que hay que mirar sus exponentes y elegir los mayores.

El factor 2 lo tomamos del nº A porque el exponente (7x) es mayor que en el nº B, ok? así que examinando el mcm que nos dan, el factor 2 lleva de exponente 21, por tanto solo queda igualar:

7x = 21 ... despejando "x" ...

x = 21 / 7 = 3

Con eso hemos calculado el valor de "x" pero para asegurarnos, vamos a examinar el factor 3 que en el nº A tiene el exponente (2x) y en el nº B tiene el exponente (2x+2)

En este caso en el nº B está con el mayor exponente y hemos de hacer lo mismo que antes igualándolo al exponente que nos dice que lleva el 3 en el mcm y que es 8.

2x + 2 = 8 ... despejando "x" ...

2x = 6

x = 6 / 2 = 3

Voilà!!!  Coincide el resultado con el anterior así que se puede afirmar con total seguridad que:

x = 3