Question

Halla un número de dos cifras sabiendo que la primera cifra es igual a la tercera parte de la segunda; y que si invertimos el orden de sus cifras, obtenemos otro número que excede en 54 unidades al inicial.
Por favor, necesito hacerlo con un sistema de ecuaciones por el método de Gauss. Solo de Gauss, no de Gauss-Jordan.
Muchas gracias.

Answer 1

Respuesta:

El número es 39

Explicación paso a paso:

Un número de dos cifras: Por el orden decimal de nuestro sistema numérico, la cifra de la izquierda es de las decenas y la derecha es de las unidades.  Si llamo A a la primera cifra y B a la segunda cifra, el número debe ser: 10A+B

El ejercicio dice que A es la tercera parte de B, lo cual es lo mismo decir que B es 3 veces A; o sea: B=3A

Si pasamos B a restar al otro lado de la igualdad, igualamos a 0, y tenemos:  3A-B =0  (Esta es la primera ecuación)

Ahora el problema nos dice que invirtamos el orden de las cifras del número. Entonces, teníamos 10A+B, pero al invertir las cifras queda: 10B+A.

Pero nos dice el ejercicio que ese 10B+A, excede en 54 al inicial 10A+B; es decir: 10B+A=10A+B+54

Ordenemos y operemos:

10B-B+A-10A=54

9B-9A=54

Simplifiquemos esa expresión, dividiendo todos sus términos entre 9:

B-A=6 ; la ordenamos:  -A+B= 6  Esta es la segunda ecuación.

O sea que tenemos estas dos ecuaciones simultáneas:

3A-B=0 (ec 1)

-A+B=6 (ec 2)

Vista así la situación, lo más simple y directo sería eliminar -B con B y despejar 2A=6, de donde A=3, o sea tendríamos la primera cifra=3.

PERO, te están pidiendo que sea por Gauss; entonces, adelante:

Ubicamos los coeficientes de cada ecuación en la matriz

$\left[\begin{array}{ccc}3&-1&0\\-1&1&6\\\end{array}\right]$

La diagonal principal es 3 y 1 (diagonal de izquierda a derecha). Necesitamos que el 3 se convierta en 0

Multiplicamos por -1 a la primera fila y por -3 a la segunda (Observa que al 3, le cambiamos el signo

-1  x  | 3   -1    0 |     Nos da:   -3  +1   0

-3 x  |-1     1    6 |     Nos da    +3  -3  -18

                                               --------------

                    Sumamos:          0  -2   -18

Tenemos entonces los coeficientes para una nueva ecuación que resultó del trabajo que hicimos con las dos iniciales. Reemplazamos y tenemos: -2B=-18

B=-18/-2

B=9   Esta es la segunda cifra.

Si la primera cifra es la tercera o un tercio de la segunda, significa que A=9/3, o sea 3.

Entonces el número es 39