halla un número de cuatro cifras sabiendo que la suma de sus cifras es 25 y que si se invierte el orden de sus cifras aumenta en 8092
Respuestas a la pregunta
8+9+2+0=17+8 yo creo que esa seria la respuesta
Solución: hemos demostrados que no existe un número de 4 cifras tal que al invertir el orden de sus cifras aumente en 8092, pero si existe un número de 4 cifras que al invertir el número de sus cifras aumente en 8082
Explicación paso a paso:
Sea a,b,c,d las cifras del número que buscamos.
Sabemos que el número que buscamos es:
a*1000+b*100+c*10+d
Tambien que:
a+b+c+d= 25
y que a,b,c,d son enteros menor o igual que 9
Por otro lado sabemos que el número invertido es el número original + 8092 y como el numero invertido es un número menor a igual a 9999 (pues es un número de 4 cifras), entonces:
abcd+8092 = dcba ≤ 9999
Por transitividad:
abcd+8092≤ 9999
abcd ≤ 1907
Ahora a no puede ser 0 pues seria un número de 3 cifras y no puede ser mayor o igual 2 pues el número seria mayor o igual a 2000, por lo tanto:
a=1
Sabemos que evidentemente abcd ≥ 1000
⇒ abcd + 8092 ≥ 9092
y por enunciado dcba = abcd+8092, entonces:
⇒ dcba ≥ 9092
Entonces, habíamos dicho que "d", era menor o igual que 9, pero no puede ser menor que 9 pues entonces dcba seria menor que 9092, por lo tanto:
d = 9
Ahora, veamos el enunciado que teníamos, la suma de las cuatros cifras es igual a 25:
a+b+c+d =25
Sustituyendo los valores de a,d
1+b+c+9 = 25
b+c=15 ⇒ b = 15-c
Si se invierte el orden aumenta en 8092, lo que significa que:
a*1000+b*100*c*10+d+8092 = d*1000+c*100*b*10+a
Sustituyendo los valores de a,d
1000+b*100*c*10+9+8092 = 9000+c*100*b*10+1
⇒ 1000+b*100*c*10+9+8092 = 9000+c*100*b*10+1
⇒ 9101+100b+10c =9001 + 100c+10b
⇒ 100 + 100b+10c = 100c+10b
⇒ 90b-90c=-100
⇒ 90*(15-c) -90c= -100
⇒ 1350-90c-90c =-100
⇒ 1350-180c= -100
⇒ 180c= 1350+100
⇒ 180c = 1450
⇒ c = 1450/180 = 8.055555
Ahora obtuvimos que "c" no es entero, por lo tanto, tenemos que hay un error en el enunciado pues no existe un número que la suma de sus cifras sea 25 y que al invertir el orden de sus cifras aumente en 8092.
Pero si existe un número que la suma de sus cifras sea 25 y que al invertir sus cifras aumente en 8082. Sustituyendo en el mismo sistema obtendríamos que:
1000+b*100*c*10+9+8082 = 9000+c*100*b*10+1
⇒ 9091+100b+10c =9001 + 100c+10b
⇒ 90 + 100b+10c = 100c+10b
⇒ 90b-90c=-90
⇒ 90*(15-c) -90c= -90
⇒ 1350-90c-90c =-90
⇒ 1350-180c= -90
⇒ 180c= 1350+90
⇒ 180c = 1440
⇒ c = 1440/180
c = 8
y como b+c= 15, b= 7.
El número seria 1789 y al invertirlo seria 9871 aumentaría en 8082