Halla M, si: AM + MB es minimo.
el punto A (4,7) y B (13,11)
Respuestas a la pregunta
Buscamos la función de distancia.
AM = √[(x - 4)² + 7²]
MB = √[(x - 13)² + 11²]
Sumamos: d = √[(x - 4)² + 7²] + √[(x - 13)² + 11²]
Los máximos o mínimo corresponden con primera derivada nula
d' = (x - 4) / √[(x - 4)² + 49] + (x - 13) / √[(x - 13)² + 121] = 0
Hallamos el numerador de esta expresión. (el denominador no participa de la igualación a cero)
(x - 4) √[(x - 13)² + 121] + (x - 13) √[(x - 4)² + 49] = 0; o bien:
(x - 4) √[(x - 13)² + 121] = - (x - 13) √[(x - 4)² + 49]
Elevamos al cuadrado:
(x - 4)² . [(x - 13)² + 121] = (x - 13)² . [(x - 4)² + 49]
Quitamos los paréntesis: omito las operaciones algebraicas.
x⁴ - 34 x³ + 514 x² - 2736 x + 4640 =
= x⁴ - 34 x³ + 442 x² - 3042 x + 10985
Reduciendo términos semejantes e igualando a cero:
72 x² + 306 x - 6345 = 0
Ecuación de segundo grado en x
Resulta x = 15/2, x = - 47/4
La solución negativa ubica un punto lejano de los datos. Debe desecharse.
Por lo tanto el punto es M(15/2, 0)
El punto M'(-47/4, 0) está alineado con A y B
Adjunto gráfico a escala.
Mateo.
