Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función:
f (x) = (x^2 ) (x+ 2)
Una empresa tiene la siguiente función de producción: C =-5/4 P^3+5P^2 , donde P representa el número de horas de trabajo efectuadas por la empresa diariamente, y C el número de kilos obtenidos de un determinado producto industrial.
Calcule el valor de P para el cual el producto total es máximo.
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Respuestas a la pregunta
RESPUESTA:
Para el primer ejercicio, tenemos la siguiente función:
f(x) = x²·(x+2)
Procedemos a resolver la distributiva.
f(x)= x³ + 2x²
Ahora, tenemos que encontrar máximos, mínimos y punto de inflexión, para ello debemos buscar la primera y segunda derivada.
- f'(x) = 3x² + 4x
- f''(x) = 6x + 4
Igualamos la primera derivada a cero para los máximos y mínimos:
3x² + 4x = 0
x(3x+4) = 0
Tenemos dos puntos críticos:
x = 0
3x+4 = 0 → x = -4/3
Verificamos en la segunda derivada si es máximo o mínimos.
f''(0) = 6·0 + 4 = +4 → Positivo, es decir, un mínimo
f''(0) = 6·(-4/3) + 4 = -4 → Negativo, es decir, un máximo
Buscamos la imagen de cada punto.
f( 0) = 0³ + 2(0)² = 0
f(-3/4) = (-4/3)³ + 2·(-4/3)² = 32/27
Entonces, nuestros puntos son:
- MÍNIMO → (0,0)
- MÁXIMO → ( -4/3, 32/27)
El punto de inflexión es cuando la segunda derivada es igual a cero, tenemos que:
6x+ 4 = 0
x = -4/6
Tenemos un punto de inflexión en -4/6, buscamos la imagen
f(-4/6) = (-4/6)³ + 2·(-4/6)² = 16/27
- PUNTO DE INFLEXIÓN → (-4/6, 16/27)
Adjunto podemos ver la gráfica.
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Para el segundo ejercicio debemos derivar la expresión y buscar los puntos críticos.
C = (-5/4)·P³ + 5P²
C' = 3·(-5/4)·P² + 10P
C'' = 6·(-5/4)·P + 10
Igualamos la primera derivada a cero.
(-15/4)P² + 10P = 0
P[(-15/4)P + 10) = 0
P = 0
P= 8/3
En este caso tenemos que el punto máximo es P = 8/3, se puede verificar usando la segunda derivada, pero por definición es así.
Evaluamos para obtener el número de kilos, tenemos:
C = (-5/4)·(8/3)³ + 5(8/3)²
C = 11.85
Entonces, se deben trabajar 8/3 horas para obtener un producción máxima de 11.85 kilogramos.
