halla las dimensiones de un triangulo rectángulo de 5 cm de hipotenusa que puede generar un cono de volumen máximo al girar alrededor de uno de sus catetos
Respuestas a la pregunta
Se tiene un volumen máximo cuando las dimensiones de los catetos son 2.89 cm y 4.08 cm.
Explicación:
Se definen las variables x, y que representan las longitudes de cada uno de los catetos.
Por el Teorema de Pitágoras:
x²+y²= 5² -------> y²= 25 - x²
El volumen de un cono es:
V= (1/3)πr²h
Para este caso: r= y, h= x
V= (1/3)πy²x
Reemplazando:
V= (1/3)π(25 - x²)x= (1/3)π (25x - x³)
Se debe determinar el valor de x para que la función sea máxima, para esto se halla la primera derivada y se iguala a cero, para determinar el valor crítico de la función.
V'= (1/3)π(25 - 3x²)
V'= 0 ; 25- 3x² = 0
x²= 25/3 = √(25/3)
x debe ser positiva porque es una dimensión física.
Para verificar que el valor es máximo, se halla la segunda derivada:
V''= (1/3)π(-6x)
Cómo x es simpre positiva, V''(√(25/3)) < 0, lo cual implica que en x= √(25/3) hay un máximo.
La medida de los catetos será:
x= √(25/3)= 2.89 cm
y= √25 - 25/3= 4.08 cm