Question

Halla las dimensiones de esta caja de galletas, sabiendo que su volumen es 32 dm3 y está determinada por la expresión: P(x)= 4x^2-8x, h>0. Factoriza para encontrar los lados de la caja.

Answer 1

Respuestas:

• Largo: 4dm
• Ancho: 2dm
• Altura: 4dm

Explicación paso a paso:

Si hablamos de una caja, específicamente hablamos de un prisma rectángulo, al decirnos que existe una altura (h) y que esta es mayor que 0, lo que comprueba que no debe ser negativa. Pero puede ser igual a otra dimensión de la caja o no:

Si el volumen es: $32dm^3$

Y sabemos que el volumen de un prisma rectangular es:

$\left(Area\:de\:la\:Base\right)\left(altura\right)=Volumen$

Donde el área de base si queremos profundizar es ancho por el largo del rectángulo que sería la base:

$L=largo,\:\:A=ancho,\:\:\:\:h=altura$

$L\times A\times h=V_o$

$L\times A\times h=32dm^3$

Entonces nos dan la expresión :  $\:P\left(x\right)=4x^2-8x$

Donde nos piden factorizar:

$Factorizar\:4x^2-8x$

$\mathrm{Aplicar\:las\:leyes\:de\:los\:exponentes}:\quad \:a^{b+c}=a^ba^c$

$=4xx-8x$

$\mathrm{Reescribir\:}8\mathrm{\:como\:}4\cdot \:2$

$\mathrm{Factorizar\:el\:termino\:comun\:}4x$

$=4x\left(x-2\right)$

Entonces si hacemos uso de la separación de 3 en paréntesis:

$\left(4\right)\left(x\right)\left(x-2\right)$

Si ordenamos a esta regla, donde el ancho es menor que el largo y la altura, y la altura puede ser mayor o igual que el largo:

$\left(x-2\right)\left(4\right)\left(x\right)=32dm^3$

$\left(A\right)\left(L\right)\left(h\right)=32^3$

$\left(x-2\right)\left(4\right)\left(x\right)=\left(A\right)\left(L\right)\left(h\right)$

Respectivamente estas son las medidas pero si queremos saber sus valores reales aplicamos con el volumen:

$\left(x-2\right)\left(4\right)\left(x\right)=32$

$\mathrm{Desarrollar\:}\left(x-2\right)\left(4\right)\left(x\right):\quad 4x^2-8x$

$\mathrm{Simplificar}$

$4x^2-8x-32=0$

$\mathrm{Resolver\:con\:la\:formula\:general\:para\:ecuaciones\:de\:segundo\:grado:}$

$\mathrm{Formula\:general\:para\:ecuaciones\:de\:segundo\:grado:}$

$\mathrm{Para\:una\:ecuacion\:de\:segundo\:grado\:de\:la\:forma\:}ax^2+bx+c=0\mathrm{\:las\:soluciones\:son\:}$

$x_{1,\:2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$\mathrm{Para\:}\quad a=4,\:b=-8,\:c=-32:\quad x_{1,\:2}=\frac{-\left(-8\right)\pm \sqrt{\left(-8\right)^2-4\cdot \:4\left(-32\right)}}{2\cdot \:4}$

$x=\frac{-\left(-8\right)+\sqrt{\left(-8\right)^2-4\cdot \:4\left(-32\right)}}{2\cdot \:4}:\quad 4$

$x=\frac{-\left(-8\right)-\sqrt{\left(-8\right)^2-4\cdot \:4\left(-32\right)}}{2\cdot \:4}:\quad -2$

$\mathrm{Las\:soluciones\:a\:la\:ecuacion\:de\:segundo\:grado\:son:\:}$

$x=4,\:x=-2$

Como h > 0 entonces no puede haber un número negativo, por lo tanto x =4:

Entonces:

$\left(x-2\right)\left(4\right)\left(x\right)=32dm^3\:\:\::\:\left(\left(4\right)-2\right)\left(4\right)\left(4\right)=32dm^3$

Si reemplzamos con $\left(x-2\right)\left(4\right)\left(x\right)=\left(A\right)\left(L\right)\left(h\right)$

Nos sale que cada una es:

$A=2\:\:,\:\:\:L=4\:\:\:\:,\:\:\:h=4$

Y esas son las dimensiones de la caja en dm(decímetros):

Largo: 4dm

Ancho: 2dm

Altura: 4dm