Question

Halla la integral de:​

Answer 1

Explicación:

$\int { \frac{x^{2}+12x+12}{x^{3}-4x} } \, dx$

Para facilitar la solución se redefine por fracciones parciales:

$\frac{x^{2}+12x+12}{x^{3}-4x} = \frac{x^{2}+12x+12}{x(x+2)(x-2)}$

$\frac{x^{2}+12x+12}{x(x+2)(x-2)} = \frac{A}{x} +\frac{B}{x+2} +\frac{D}{x-2}$

$\frac{x(x+2)(x-2)(x^{2}+12x+12)}{x(x+2)(x-2)} = \frac{Ax(x+2)(x-2)}{x} +\frac{Bx(x+2)(x-2)}{x+2} +\frac{Dx(x+2)(x-2)}{x-2}$

$x^{2}+12x+12 = A(x+2)(x-2) + Bx(x-2) + Dx(x+2)$

Al resolver el sistema, considerando x = 0 ; x = -2 ; x = 2

Se obtiene que:

• $A=-3$
• $B=-1$
• $D=5$

Teniéndose entonces que:

$\frac{x^{2}+12x+12}{x^{3}-4x} = \frac{-3}{x} +\frac{-1}{x+2} +\frac{5}{x-2}$

$\frac{x^{2}+12x+12}{x^{3}-4x} = -\frac{3}{x} - \frac{1}{x+2} + \frac{5}{x-2}$

Quedando lo siguiente:

$\int { \frac{x^{2}+12x+12}{x^{3}-4x} } \, dx = \int { ( -\frac{3}{x} - \frac{1}{x+2} + \frac{5}{x-2} ) } \, dx$

Por propiedades de las integrales, se puede redefinir como:

$\int { ( -\frac{3}{x} - \frac{1}{x+2} + \frac{5}{x-2} ) } \, dx = -3\int {\frac{dx}{x} } - \int {\frac{dx}{x+2} } + 5\int {\frac{dx}{x-2} }$

Al evaluar cada integral se obtiene:

$-3\int {\frac{dx}{x} } - \int {\frac{dx}{x+2} } + 5\int {\frac{dx}{x-2} } = -3\ln{|x|} - \ln{|x+2|} +5\ln{|x-2|} + C$

Y esto se podría simplificar más:

$-3\ln{|x|} - \ln{|x+2|} +5\ln{|x-2|} + C = \ln{|x-2|^{5}} -\ln{|x|^{3}} - \ln{|x+2|} + C$

$\ln{|x-2|^{5}} -\ln{|x|^{3}} - \ln{|x+2|} + C = \ln{( \frac{|x-2|^{5}}{|x|^{3} \cdot |x+2| } )} + C$

Respuesta:

Por tanto:

$\int { \frac{x^{2}+12x+12}{x^{3}-4x} } \, dx = \ln{( \frac{|x-2|^{5}}{|x|^{3} \cdot |x+2| } )} + C$