Question

Halla la ene-sima derivada de :

$y = ln( \frac{3x - 5}{3x + 5} )$

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Derivación

$\textbf{Problema :}$

Encuentre la $\textrm{en\'esima}$ derivada de la función.

$F_{(x)} = \textrm{ln} \left( \dfrac{3x-5}{3x+5} \right)$

RESOLUCIÓN

Escribamos $F_{(x)}$ de la siguiente manera.

$F_{(x)} = \textrm{ln} \left( 3x-5 \right) - \textrm{ln} \left( 3x+5 \right)$

Apliquemos la siguiente regla de derivación.

$F_{(x)} = G_{(x)} - H_{(x)}\ \Rightarrow\ F^{(1)} _{(x)} = G^{(1)} _{(x)} - H^{(1)} _{(x)}$

De donde $G_{(x)} = \textrm{ln} \left( 3x-5 \right)$ y $H_{(x)} = \textrm{ln} \left( 3x+5 \right)$

Aplicando la siguiente regla de derivación, se puede obtener inmediatamente las derivadas de la funciones $G$ y $H$.

$F_{(x)} = \textrm{ln} \left( G_{(x)} \right)\ \Rightarrow\ F^{(1)}_{(x)} = \dfrac{1}{G_{(x)}} \cdot G^{(1)}_{(x)}$

Entonces.

$G^{(1)} _{(x)} = \dfrac{3}{3x-5}$ y $H^{(1)} _{(x)} = \dfrac{3}{3x+5}$

De esta forma obtenemos la primera derivada de $F$.

$F^{(1)} _{(x)} = \dfrac{3}{3x-5} - \dfrac{3}{3x+5}$

Aplicando el mismo procedimiento, podemos obtener la segunda derivada.

$F^{(2)} _{(x)} = \dfrac{-9}{\left(3x-5 \right)^2} - \dfrac{-9}{\left(3x+5 \right)^2}$

Note usted que $F^{(2)} _{(x)} = G^{(2)} _{(x)} - H^{(2)} _{(x)}$ siendo $G^{(2)} _{(x)} = \dfrac{-9}{\left(3x-5 \right)^2}$ y $H^{(2)} _{(x)} = \dfrac{-9}{\left(3x+5 \right)^2}$

Análogamente encontramos la tercera derivada aplicando el mismo criterio, es decir.

$F^{(3)} _{(x)} = G^{(3)} _{(x)} - H^{(3)} _{(x)}$

En general.

$F^{(n)} _{(x)} = G^{(n)} _{(x)} - H^{(n)} _{(x)}$

En esencia debemos encontrar la derivada de orden $n$ de las funciones $G$ y $H$.

Empecemos por $G$, nos percatamos de un patrón al momento de derivar $G$ y es el siguiente.

$G^{(1)} _{(x)} = \dfrac{3}{3x-5}$

$G^{(2)} _{(x)} = \dfrac{-9}{\left(3x-5 \right)^{2}}$

$G^{(3)} _{(x)} = \dfrac{54}{\left(3x-5\right)^3}$

$G^{(4)} _{(x)} = \dfrac{-486}{\left(3x-5\right)^{4}}$

En el denominador se observa que el exponente va aumentando a medida que se sigue derivando la función, mientras que en el numerador se alternan los signos y se tiene la siguiente sucesión.

$\{ a_{n} \} = 3\ ;\ 9\ ;\ 54\ ;\ 486\ ; \ldots$

Escribiendo la sucesión de esta forma.

$\{ a_{n} \} =3\ ;\ 3 \times 3\ ;\ 3 \times 3 \times 6\ ;\ 3 \times 3 \times 6 \times 9\ ; \ldots$

$\{ a_{n} \} = 3\ ;\ 3 \times 3(1)\ ;\ 3 \times 3(1) \times 3(2)\ ;\ 3 \times 3(1) \times 3(2) \times 3(3)\ ; \ldots$

$\{ a_{n} \} = 3^{1}\ \times 0!\ ;\ 3^{2} \times 1!\ ;\ 3^{3} \times 2!\ ;\ 3^{4} \times 3!\ ; \ldots$

Se deduce $\{ a_{n} \} = 3^{n} \cdot (n-1)!$ y por consiguiente.

$G^{(n)} _{(x)} = \dfrac{(-1)^{n-1} \cdot 3^{n} \cdot (n-1)! }{(3x-5)^{n}}$

Se agrega el factor $(-1)^{n-1}$ debido a que como se menciono anteriormente, los signos van alternando.

Se puede demostrar por inducción matemática que nuestro resultado es correcto, para $H$ se sigue el mismo procedimiento.

$H^{(n)} _{(x)} = \dfrac{(-1)^{n-1} \cdot 3^{n} \cdot (n-1)! }{(3x+5)^{n}}$

Una vez obtenidas las $\textrm{en\'esimas}$ derivadas, sustituimos.

$F^{(n)} _{(x)} = \dfrac{(-1)^{n-1} \cdot 3^{n} \cdot (n-1)! }{(3x-5)^{n}} - \dfrac{(-1)^{n-1} \cdot 3^{n} \cdot (n-1)! }{(3x+5)^{n}}$

$F^{(n)} _{(x)} = (-1)^{n-1} \cdot 3^{n} \cdot (n-1)! \cdot \left( \dfrac{1}{(3x-5)^{n}} - \dfrac{1}{(3x+5)^{n}} \right)$

RESPUESTA

$\boxed{F^{(n)} _{(x)} = (-1)^{n-1} \cdot 3^{n} \cdot (n-1)! \cdot \left( \dfrac{1}{(3x-5)^{n}} - \dfrac{1}{(3x+5)^{n}} \right)}$

Answer 2

Respuesta:

Tema: Derivación

\textbf{Problema :}Problema :

Encuentre la \textrm{en\'esima}eneˊsima derivada de la función.

F_{(x)} = \textrm{ln} \left( \dfrac{3x-5}{3x+5} \right)F(x)=ln(3x+53x−5)

RESOLUCIÓN

Escribamos F_{(x)}F(x) de la siguiente manera.

F_{(x)} = \textrm{ln} \left( 3x-5 \right) - \textrm{ln} \left( 3x+5 \right)F(x)=ln(3x−5)−ln(3x+5)

Apliquemos la siguiente regla de derivación.

F_{(x)} = G_{(x)} - H_{(x)}\ \Rightarrow\ F^{(1)} _{(x)} = G^{(1)} _{(x)} - H^{(1)} _{(x)}F(x)=G(x)−H(x) ⇒ F(x)(1)=G(x)(1)−H(x)(1)

De donde G_{(x)} = \textrm{ln} \left( 3x-5 \right)G(x)=ln(3x−5) y H_{(x)} = \textrm{ln} \left( 3x+5 \right)H(x)=ln(3x+5)

Aplicando la siguiente regla de derivación, se puede obtener inmediatamente las derivadas de la funciones GG y HH .