Question

Halla la ecuacion de las parabolas que satisfacen las siguientes condiciones.
Foco: (0,-5) , Directriz: y=5

Answer 1

Respuesta:

$y=-\frac{1}{20} x^2$

Explicación paso a paso:

Primero debemos hallar la distancia entre $(x_{o} ,y_{o} )$ y el foco $(0,.5)$. Para calcular la distancia emplearemos la siguiente fórmula:

$d=\sqrt{(x_{0}-a) ^{2}+(y_{0}-b) ^{2} }$

Donde:

$a=0\\b=-5$

Reemplazando se tiene:

$d=\sqrt{(x_{o}-0) ^{2}+(y_{o}-(-5)) ^{2} }\\d=\sqrt{(x_{o}) ^{2}+(y_{o}+5) ^{2} }$

Esta distancia tenemos que igualarla con la distancia distancia entre $(x_{o} ,y_{o} )$ y la directriz, y = 5, que es:

$d=|y_{0} -y|$

$d=|y_{0} -5|$

Igualando se tiene:

$\sqrt{(x_{0}) ^{2}+(y_{0}+5) ^{2} }=|y_{o}-5|\\\sqrt{(x_{0}) ^{2}+(y_{0}+5) ^{2} }=y_{o}-5$

Elevando al cuadrado en ambos miembros:

$\\(\sqrt{(x_{0}) ^{2}+(y_{0}+5) ^{2} })^2=(y_{o}-5)^2 \\(x_{0}) ^{2}+(y_{0}+5)^2}=(y_{o}-5)^2$

Aplicamos binomio al cuadrado:

$x_{o} ^{2} +y_{o} ^{2} +10y_{o} +25=y_{o} ^{2}-10y_{o} +25\\x_{o} ^{2} +y_{o} ^{2} +10y_{o} =y_{o} ^{2}-10y_{o} \\x_{o} ^{2} +10y_{o} =-10y_{o} \\10y_{o} +10y_{o}=-x_{o} ^{2}\\20y_{o}=-x_{o} ^{2}\\y_{o}=-\frac{1}{20} x_{o}^2$

Esta ecuación en $(x_{o} ,y_{o} )$ es verdadera para todos los otros valores en la parábola y por lo tanto podemos reescribirla con $(x,y)$. Entonces la ecuación de la parábola con Foco $(0,.5)$ y directriz $y=5$ es:

$y=-\frac{1}{20} x^2$