Question

Halla la ecuación de la recta tangente a la curva: y= f(x)= 2x2-4x en el punto (3,6), utilizando limites de Fermat
en el 2x2 es 2x cuadrada

Answer 1

La ecuación de la recta tangente es 4x-y-6=0.

Explicación paso a paso:

Aplicando límites de Fermat, la pendiente de la recta tangente a una función es:

$m= \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

Donde $x_0$ es la abscisa del punto bajo estudio, reemplazando ese valor en esta expresión queda:

$m= \lim_{x \to 3} \frac{2x^2-4x-(2.3^2-4.3)}{x-3}=\lim_{x \to 3} \frac{2x^2-4x-6}{x-3}$

Este límite nos lleva a una indeterminación de tipo cero sobre cero, que podemos salvar factorizando el numerador, para lo cual resolvemos la ecuación cuadrática:

$x=\frac{-(-4)\ñ\sqrt{(-4)^2-4.2.(-6)}}{2.2}=\frac{4\ñ\sqrt{16+48}}{4}\\\\x=3\\\\x=-1$

Y el límite queda:

$m= \lim_{x \to 3} \frac{(x+1)(x-3)}{x-3}=4$

Sabiendo que la recta pasa por el punto (3,6) podemos recurrir a la ecuación punto-pendiente:

$y=mx+b\\\\y=4x+b\\\\6=4.3+b\\\\b=6-4.3=-6\\\\y=4x-6=>4x-y-6=0$