Question

Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos. B(2,4) y (6,2)

Answer 1

La ecuación de la recta que pasa por los puntos B (2,4) y C (6,2) está dada por:

Forma Explícita

$\large\boxed {\bold { y =- \frac{1}{2}x \ + 5 }}$

Forma General:

$\large\boxed {\bold { x\ +\ 2y \ - \ 10 = 0 }}$

Para determinar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados debemos primero hallar la pendiente

Por tanto dados dos puntos pertenecientes a una recta con coordenadas

$\bold { B\ (x_{1},y_{1} ) \ y \ \ C\ (x_{2},y_{2} )}$

Definimos a la pendiente m de una recta como el cociente entre la diferencia de las ordenadas y la diferencia de las abscisas de los puntos conocidos pertenecientes a la recta

Lo que resulta en

$\large\boxed{\bold {m = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}$

Determinamos la pendiente de la recta que pasa por los puntos B (2,4) y C (6,2)

$\bold { B\ (2,4) \ ( x_{1},y_{1}) \ \ \ C\ ( 6,2) \ ( x_{2},y_{2}) }$

Hallamos la pendiente

$\large\boxed{\bold {m = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}$

$\large\textsf{Reemplazamos }$

$\boxed{\bold {m = \frac{ 2 - (4) }{6 - (2) } }}$

$\boxed{\bold {m = \frac{ 2-4 }{ 6-2 } }}$

$\boxed{\bold {m = \frac{ -2 }{4 } }}$

$\textsf{Simplificamos}$

$\large\boxed{\bold {m = -\frac{1}{2} }}$

La pendiente es igual a -1/2

Empleamos la ecuación en la forma punto pendiente para hallar la ecuación de la recta solicitada

Cuya forma está dada por:

$\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}$

Donde x1 e y1 son las coordenadas de un punto cualesquiera conocido perteneciente a la recta y donde m es la pendiente. Como conocemos el punto B (2,4) tomaremos x1 = 2 e y1 = 4

Por tanto:

$\large\textsf{Tomamos el valor de la pendiente } \bold {m=- \frac{1}{2} } \\\large\textsf{y un punto dado } \bold { B\ (2,4 )}$

$\large\textsf{Reemplazando } \bold { x_{1} \ y \ y_{1} } \\\large\textsf{En la forma punto pendiente: }$

$\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}$

$\boxed {\bold { y - (4) =- \frac{1}{2} \ .\ (x- (2)) }}$

$\boxed {\bold { y -4 =- \frac{1}{2} \ .\ (x-2) }}$

Reescribimos la ecuación en la forma pendiente intercepción

También llamada forma principal o explícita

Que responde a la forma:

$\large\boxed {\bold { y = mx +b }}$

Donde m es la pendiente y b la intersección en Y

Resolvemos para y

$\boxed {\bold { y -4 =- \frac{1}{2} \ .\ (x-2) }}$

$\boxed {\bold { y -4 =- \frac{x}{2} \ + \frac{2}{2} }}$

$\boxed {\bold { y -4 =- \frac{x}{2} \ + 1 }}$

$\boxed {\bold { y =- \frac{x}{2} \ + 1 +4 }}$

$\boxed {\bold { y =- \frac{x}{2} \ + 5 }}$

$\large\boxed {\bold { y =- \frac{1}{2}x \ + 5 }}$

Habiendo hallado la ecuación de la recta solicitada en la forma explícita

Reescribimos la ecuación en la forma general de la recta

También llamada forma implícita

Que responde a la forma:

$\large\boxed {\bold { Ax +By + C = 0 }}$

$\boxed {\bold { y =- \frac{1}{2}x \ + 5 }}$

$\boxed {\bold { y +\ \frac{1}{2}x \ - 5 = 0 }}$

$\boxed {\bold { \frac{1}{2}x \ +\ y \ - 5 = 0 }}$

Para obtener una ecuación general o implícita sin fracciones:

Multiplicamos la ecuación por 2

$\boxed {\bold { \frac{1}{2}x \ . \ 2 \ +\ y \ . \ 2 \ - 5 \ . \ 2 = 0 }}$

$\boxed {\bold { \frac{1}{\not 2}x \ . \not 2 \ +\ y \ . \ 2 \ - 5\ . \ 2 = 0 }}$

$\large\textsf{Obteniendo }$

$\large\boxed {\bold { x\ +\ 2y \ - \ 10 = 0 }}$

Habiendo hallado la ecuación de la recta solicitada en la forma general o implícita

Se adjunta gráfico