Question

Halla la ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo al eje X y pasa por los puntos A(-1,1) B(2,3) C(7,5). Escribe la ecuación en su forma
A) General
B) Cuales son las coordenadas del vértice?
Ayuda por favor no le entiendo

Answer 1

Respuesta:

a) y² - 4x + 2y - 7 = 0

b) V = (-2,-1)

Explicación paso a paso:

a) como es paralela al eje x es una parábola horizontal cuya formula general es

y² + Dx + Ey + F = 0

en esta ecuacion reemplazamos cada uno de los puntos que nos dieron en el ejercicio y obtendremos 3 ecuaciones con 3 incógnitas

para (-1,1)

(1)² + D(-1) + E(1) + F = 0

1 - D + E + F = 0

-D + E + F = -1   ecuacion 1

para (2,3)

(3)² + D(2) + E(3) + F = 0

9 + 2D + 3E + F = 0

2D + 3E + F = -9     ecuacion 2

para (7,5)

(5)² + 7D + E(5) + F = 0

25 + 7D + 5E + F = 0

7D + 5E + F = -25  ecuacion 3

ya tenemos el sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas que vamos a resolver por reduccion

a la ecuacion 1 le vamos a restar la ecuacion 2 para eliminar la F y me quede una ecuacion (4) de 2 incógnitas

- D + E + F = -1

- 2D -3E - F = 9

______________

-3D - 2E = 8     ecuacion 4

a la ecuacion 1 le restamos la ecuacion 3 para eliminar la F y me queda una ecuacion (5) de 2 incógnitas

- D + E + F = -1

-7D - 5E - F = 25

_____________

- 8D - 4E = 24

-2(4D + 2E) = 24

4D + 2E = 24/-2

4D + 2E = -12    ecuacion 5

ahora a la ecuacion 4 le sumamos la ecuacion 5 para eliminar la E y despejar para obtener el valor de D

- 3D - 2E = 8

 4D + 2E = -12

_____________

D = -4

reemplazamos el valor de D en la ecuacion 4 para obtener el valor de E

- 3D - 2E = 8

- 3(-4) - 2E = 8

12 - 2E = 8

- 2E = 8 - 12

- 2E = - 4

E = -4/-2

E = 2

ahora reemplazamos los valores de D y E en la ecuacion 1 para obtener el valor de F

- D + E + F = - 1

-(-4) + (2) + F = - 1

4 + 2 + F = - 1

6 + F = - 1

F = - 1 - 6

F = - 7

ahora reemplazamos los valores de D, E y F en la formula general de la parábola horizontal para hallar la ecuacion general de la parábola

y² + Dx + Ey + F = 0

Y² + (-4)x + (2)y + (-7) = 0

y² - 4x + 2y - 7 = 0  ecuacion general

b) para calcular el vértice debemos convertir la ecuacion general a canónica

y²  - 4x + 2y - 7 = 0

primero dejamos los términos de y al lado izquierdo del igual y los que no tienen y al lado derecho

y² + 2y = 4x + 7

ahora completemos el trinomio cuadrado perfecto con los términos de y sumando a ambos lados de la igualdad el cuadrado de la mitad del coeficiente de y  a la 1

como el coeficiente de y a la 1 es 2 entonces la mitad 1 y al elevarla al cuadrado queda 1

y² + 2y + 1 = 4x + 7 + 1

ahora factorizamos el trinomio cuadrado perfecto a la izquierda y reducimos términos semejantes a la derecha

(y + 1)² = 4x + 8

sacamos factor común a la derecha del igual

(y + 1)² = 4(x + 2)

ya podemos sacar el vértice

V = (-2,-1)