Question

Halla la ecuación de la hipérbola con vértices en (0 ; 3) y (-8; 3) y foco en paréntesis izquierdo menos 4 espacio más espacio raíz cuadrada de 29 espacio punto y coma espacio 3 paréntesis derecho.

Answer 1

La ecuación de la hipérbola con los elementos descritos es $\frac{(x+4)^2}{16}-\frac{(y-3)^2}{13}=1$.

¿Cómo hallar la ecuación de la hipérbola conociendo sus vértices y su foco?

La ecuación canónica de una hipérbola con eje real paralelo al eje de abscisas (o sea, horizontal) tiene la siguiente forma:

$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$

Donde 'a' es el semieje real, 'b' es el semieje imaginario y el centro está en (x0,y0). La ordenada del centro es 3, ya que los focos están sobre la recta y=3, la abscisa del centro es:

$x_0=\frac{0+(-8)}{2}=-4$

Además, si hacemos y=y0 nos queda:

$a^2=(x-x_0)^2\\\\a^2=(0-(-4))^2=16\\a^2=(-8-(-4))^2=16$

Y, por último, si uno de los focos de la hipérbola está en el punto $(-4+\sqrt{29},3)$, y el centro está en el punto (-4,3). el semieje focal es:

$c=(-4+\sqrt{29})-(-4)=\sqrt{29}$

Entonces, el semieje imaginario es:

$c^2=a^2+b^2\\b^2=c^2-a^2=29-16=13$

Y la ecuación de la hipérbola es:

$\frac{(x+4)^2}{16}-\frac{(y-3)^2}{13}=1$

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