Question

Halla la ecuación de la circunferencia que tiene de centro el punto C (6,4) y de radio r=3. ¿Pertenecen los puntos A (4,6), B (3.46, 5.6) y D (2,2) a la circunferencia?​

Answer 1

La ecuación ordinaria de la circunferencia está dada por:

$\large\boxed{ \bold { (x-6)^2+(y-4)^2=9 }}$

Ninguno de los puntos dados pertenecen a la circunferencia propuesta

Solución

a) Hallamos la ecuación de la circunferencia

Ecuación ordinaria de la circunferencia

La ecuación ordinaria de la circunferencia está dada por:

$\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}$

Donde (h, k) son las las traslaciones horizontal h y vertical k que representan el centro del círculo. Y donde la distancia entre el centro y cada punto del círculo es igual a la longitud del radio.

La variable r representa el radio del círculo, h representa la distancia X desde el origen y k representa la distancia Y desde el origen

Centro (6, 4) y radio = 3

Reemplazamos en la ecuación de la circunferencia

$\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}$

Los valores conocidos de (h, k) = (6,4) y radio = 3

$\boxed{ \bold { (x-6)^2+(y-4)^2=(3 )^{2} }}$

$\large\boxed{ \bold { (x-6)^2+(y-4)^2=9 }}$

Habiendo hallado la ecuación ordinaria de la circunferencia

b) Determinamos si los puntos dados pertenecen a la circunferencia

Para determinar si un punto pertenece o no a la circunferencia dada, reemplazamos los valores de las coordenadas de cada punto (x, y) en la abscisa y la ordenada en la ecuación de la circunferencia que se ha hallado

Donde si se cumple la igualdad el punto pertenece a la circunferencia, y si por el contrario la igualdad no se cumpliese el punto no pertenece a la circunferencia

1) Evaluamos el punto A (4,6)

$\boxed{ \bold { (x-6)^2+(y-4)^2=9 }}$

$\bold{ (4-6)^{2} + (6-4)^{2} = 9 }$

$\bold{ (-2)^{2} + (2)^{2} = 9 }$

$\bold{ 4+ 4= 9 }$

$\large\boxed{ \bold { 8\neq 9 }}$

$\large\textsf{ No se cumple la igualdad }$

Por lo tanto el punto A (4,6) no pertenece a la circunferencia

2) Evaluamos el punto B (3.46, 5.6)

$\boxed{ \bold { (x-6)^2+(y-4)^2=9 }}$

$\bold{ (3.46-6)^{2} + (5.6-4)^{2} = 9 }$

$\bold{ (-2.54)^{2} + (1.6)^{2} = 9 }$

$\bold{ 6.4516+ 2.56= 9 }$

$\large\boxed{ \bold { 9.0116\neq 9 }}$

$\large\textsf{ No se cumple la igualdad }$

Por lo tanto el punto B (3.46, 5.6) no pertenece a la circunferencia

3) Evaluamos el punto D (2, 2)

$\boxed{ \bold { (x-6)^2+(y-4)^2=9 }}$

$\bold{ (2-6)^{2} + (2-4)^{2} = 9 }$

$\bold{ (-4)^{2} + (-2)^{2} = 9 }$

$\bold{ 16+ 4= 9 }$

$\large\boxed{ \bold { 20\neq 9 }}$

$\large\textsf{ No se cumple la igualdad }$

Por lo tanto el punto D (2, 2) no pertenece a la circunferencia

Luego ninguno de los puntos dados pertenecen a la circunferencia

Concluyendo que dado un punto podemos establecer posiciones relativas de este con respecto a la circunferencia del modo siguiente: si se cumple la igualdad el punto se encuentra sobre la circunferencia y por tanto pertenece a la misma. Si se obtiene un valor superior al radio se trata de un punto que está por fuera de la circunferencia, siendo un punto exterior a la misma. Por el contrario si se obtiene un valor inferior al radio de la circunferencia el punto se encuentra dentro de la circunferencia, siendo entonces un punto interior a la misma.  

Se adjunta gráfico de la circunferencia dada