Question

Halla la ecuación de la circunferencia inscrita al triangula cuyos vértices son : (-1,0) , (2, 9/4) , (5,0)

Answer 1

Veamos. El procedimiento general es el siguiente.

Se debe hallar la ecuación de las rectas bisectrices de cada uno de los ángulos (son necesarias solamente dos)

Se halla el punto de intersección de las dos bisectrices. Este punto es el centro. El radio es la distancia desde el centro a uno de los lados del triángulo.

Para este caso en particular, el triángulo es isósceles, con base los puntos sobre el eje x

La recta que pasa por (-1, 0) y (2, 9/4) tiene por pendiente:

m = (9/4) / 3 = 3/4; el ángulo que forma con el eje x es 

Ф = arct(3/4) = 36,87°; la bisectriz tiene un ángulo igual a la mitad: (un lado es el eje x)

α = Ф / 2 = 18,43°; su tangente es tg α = 1/3 = pendiente de la bisectriz
La bisectriz entre la base y el lado en estudio es:

y = 1/3 (x + 1)

La otra bisectriz es fácil, es una recta vertical por x = 2; (coincide con la altura de la base)

Reemplazamos en la ecuación de la bisectriz: y = 1/3 (2 + 1) = 1

Por lo tanto el punto de intersección es el centro de la circunferencia: (2, 1); el radio de la circunferencia es entonces 1

La circunferencia es entonces (x - 2)² + (y - 1)² = 1

Adjunto gráfica con las conclusiones.

Saludos Herminio