Question

halla la ecuacion de la circunferencia concentrica x² + y²=4y cuyo radio es el doble de la mima ​

Answer 1

【Rpta.】La ecuación de la circunferencia es x² + (y - 2)² =16

                                 ${\hspace{50 pt}\above 1.2pt}\boldsymbol{\mathsf{Procedimiento}}{\hspace{50pt}\above 1.2pt}$

Recordemos que una circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos P(x,y) del plano que equidistan de un punto fijo C(h,k), al cuál llamaremos centro.

                                            $\underbrace{\boxed{\mathrm{(x-h)^2+(y-k)^2=r^2}}}_{\mathsf{Ecuaci\acute{o}n\:de\:la\:circunferencia}}$

Llevaremos la ecuación que tenemos a esa forma

                                     $\mathsf{\:\:\:\hspace{45 pt}x^2+y^2=4y}\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\hspace{32 pt}x^2+y^2-4y=0}\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:x^2+\mathsf{y^2-4y+\boldsymbol{4}}-\boldsymbol{4}=0}\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:x^2+\underbrace{\mathsf{y^2-4y+\boldsymbol{2^2}}}-\boldsymbol{4}=0}\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:x^2+(y-2)^2-4=0}\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:x^2+(y-2)^2=4}\\\\\mathsf{\boldsymbol{\mathsf{(x-\underbrace{0}_{h})^2+(y-\underbrace{2}_{k})^2={\underbrace{2}_{r}}^2}}}$

El centro de la circunferencia es (0,2) y su radio es 2

Entonces de acuerdo al problema la ecuación de nuestra nueva circunferencia tendra centro en (0,2) y su radio será 4

                                             $\mathsf{\:\:\:\:\:\:(x-h)^2+(y-k)^2=r^2}\\\\\mathsf{\:\:\:\:[x-(0)]^2+[y-(2)]^2=(4)^2}\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\:\boxed{\boxed{\boldsymbol{\mathsf{x^2+(y-2)^2=16}}}}}$

⚠ La gráfica en la imagen solo es para comprobar nuestros resultados.

                                            $\mathsf{\mathsf{\above 3pt \phantom{aa}\overset{\displaystyle \fbox{I\kern-3pt R}}{}\hspace{2 pt}\fbox{C\kern-6.8pt O}\hspace{2 pt}\overset{\displaystyle\fbox{C\kern-6.5pt G}}{} \hspace{2 pt} \fbox{I\kern-3pt H} \hspace{2pt}\overset{\displaystyle\fbox{I\kern-3pt E}}{} \hspace{2pt} \fbox{I\kern-3pt R} \phantom{aa}} \above 3pt}$