Question

Halla en que punto la tangente a la curva y=x^3+2 es paralela a la recta 3x-y=5 y perpendicular a la recta x+2y=3

Answer 1

La recta tangente es paralela a 3x-y=5 en los puntos (1,3) y (-1,1), mientras que es perpendicular a x+2y=3 en $(\sqrt{\frac{2}{3}},(\frac{2}{3})^3+2),(-\sqrt{\frac{2}{3}},-(\frac{2}{3})^3+2)$.

¿Cómo hallar el punto en que la recta tangente es paralela a 3x-y=5?

La ecuación de esta recta puede ser también escrita como y=3x-5. Con esto, tenemos que la pendiente de la recta es 3. Como la derivada de la función es la pendiente de la recta tangente, tenemos que igualar la derivada de la función a 3:

$y=x^3+2\\\\\frac{dy}{dx}=3x^2=3\\\\x=1,x=-1$

Los puntos donde la recta tangente es paralela a y=3x-5 son (1,3) y (-1,1) y las rectas tangentes son y=3x e y=3x+4.

¿Cómo hallar el punto en que la recta tangente es normal a x+2y=3?

La ecuación de esta recta es $y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$, con lo cual, la pendiente es -1/2. Para que la recta tangente a la curva sea normal a esta recta, la pendiente tiene que ser $m'=-\frac{1}{m}=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=2$, la derivada de la función se tiene que igualar a 2:

$\frac{dx}{dy}=3x^2=2\\\\x=\ñ\sqrt{\frac{2}{3}}$

Los puntos en que la recta tangente es normal a la recta planteada son $(\sqrt{\frac{2}{3}},(\frac{2}{3})^3+2),(-\sqrt{\frac{2}{3}},-(\frac{2}{3})^3+2)$.

En la figura adjunta la recta azul es x+2y=3, la recta verde es 3x-y=5. En negro están las rectas tangentes paralelas a esta última y en rosa las rectas tangentes perpendiculares a la primera.

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#SPJ1

Answer 2

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Explicación paso a paso: