halla el valor de los lados faltantes de los triangulos rectangulos
Respuestas a la pregunta
Explicación paso a paso:
.
Objetivos de Aprendizaje
· Usar el Teorema de Pitágoras para encontrar las longitudes desconocidas de los lados de un triángulo rectángulo.
· Encontrar las longitudes y ángulos desconocidos de un triángulo rectángulo.
· Encontrar los valores exactos de una función trigonométrica para ángulos que miden 30°, 45°, y 60°.
· Resolver problemas de aplicación usando trigonometría de triángulos rectángulos.
Introducción
Supongamos que debes construir una rampa y no sabes qué tan larga debe ser. Conoces ciertas medidas de ángulos y longitudes de lados, pero necesitas encontrar la información faltante.
Hay seis funciones trigonométricas que puedes usar para calcular lo que no conoces. Ahora aprenderás a usar dichas funciones para resolver problemas que involucran triángulos rectángulos.
Usar el Teorema de Pitágoras en Problemas de Trigonometría
Hay varias formas de determinar la información desconocida en un triángulo rectángulo. Una de estas formas es el Teorema de Pitágoras, que dice .
Supongamos que tienes un triángulo rectángulo en el que a y b son las longitudes de sus catetos y c es la longitud de la hipotenusa, como se muestra abajo.
Topic2_1
Si conoces la longitud de dos de los lados, entonces puedes usar el Teorema de Pitágoras () para calcular la longitud del tercer lado. Una vez que conoces todos los lados, puedes usar todas las funciones trigonométricas.
Ejemplo
Problema
Encontrar los valores de y .
Topic2_2
Puedes inmediatamente calcular la tangente a partir de su definición y de la información en el diagrama.
Para encontrar el valor de la secante, necesitarás la longitud de la hipotenusa. Usa el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la hipotenusa.
Ahora calcula sec X usando la definición de secante.
Respuesta
¿Cuál es el valor de ?
A)
B)
C)
D)
Mostrar/Ocultar Respuesta
Algunos problemas pueden proporcionar los valores de dos razones trigonométricas para un ángulo y pedirte que encuentres el valor de otras razones. Sin embargo, realmente sólo necesitas conocer el valor de una razón trigonométrica para encontrar el valor de cualquier otra razón trigonométrica para el mismo ángulo.
Ejemplo
Problema
Para el ángulo agudo A, . Encontrar los valores de y .
Topic2_4
Primero necesitas dibujar un triángulo rectángulo donde .
La tangente es la razón del lado opuesto y del lado adyacente. Se muestra el triángulo más simple que puedes usar que tenga esa razón. Tiene una longitud del lado opuesto de 2 y una longitud del lado adyacente de 5. Pudiste haber usado un triángulo cuyo lado opuesto mida 4 y lado adyacente mida 10. (Sólo necesitas la razón para reducir a ).
Puedes usar el Teorema de Pitágoras para encontrar la hipotenusa.
Luego usas la definición de coseno para encontrar cos A.
Ahora usas el hecho de que sec A = 1/cos A para encontrar sec A.
Respuesta
,
Ejemplo
Problema
Si el ángulo X es un ángulo agudo con , ¿cuál es el valor de ?
Topic2_5
En éste triángulo rectángulo, ya que , la razón del lado opuesto y la hipotenusa es . El triángulo más simple que podemos usar que tenga esa razón sería el triángulo que tiene una longitud del lado opuesto de 3 y una longitud de hipotenusa de 4.
Podemos usar el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud del cateto desconocido.
Puedes calcular la cotangente usando la definición.
O puedes encontrar la cotangente calculando primero la tangente y luego su recíproco.
Respuesta
Resolviendo Triángulos Rectángulos
A determinar todas las longitudes de los lados y medidas de los ángulos de un triángulo rectángulo se le llama resolver el triángulo rectángulo. Veamos cómo hacer esto cuando se nos da la longitud de un lado y la medida de un ángulo agudo. Una vez que aprendas cómo resolver un triángulo rectángulo, podrás resolver muchos problemas del mundo real – como el problema de la rampa que vimos al inicio de la lección – y las únicas herramientas que necesitarás son las definiciones de las funciones trigonométricas, el Teorema de Pitágoras, y una calculadora.
Ejemplo
Problema
Necesitas construir una rampa con las siguientes dimensiones. Resuelve el triángulo rectángulo mostrado a continuación. Usa las aproximaciones y , y proporciona las longitudes a la decena más cercana.
Topic2_6
Recuerda que los ángulos agudos en un triángulo rectángulo son complementarios, lo que significa que suman 90°. Como , quiere decir que .
Puedes usar la definición de la cosecante para encontrar c. Sustituye la medida del ángulo en el lado izquierdo de la ecuación y usa el triángulo para obtener la razón en la derecha. Al resolver la ecuación y redondear a la decena más cercana obtienes .
De manera similar, puedes usar la definición de la tangente y la medida del ángulo para encontrar b. Resolviendo la ecuación y redondeando a la decena más cercana obtienes .
Respuesta
Topic2_7
La rampa necesita medir 11.7 pies de largo.
En el problema anterior, te proporcionaron los valores de las funciones trigonométricas. En el problema siguiente, necesitarás usar las teclas de las funciones