Question

Halla el valor de los dos ángulos y los lados faltantes en el siguiente triángulo.

Answer 1

El ángulo γ tiene un valor de 89°

El lado a del triángulo tiene un valor de aproximadamente 32,351 unidades

El lado c del triángulo tiene un valor de aproximadamente 12,643 unidades

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Para aplicar el teorema del seno se necesita conocer dos lados y un ángulo interior opuesto a alguno de estos dos lados, o bien conocer un lado y dos ángulos, donde uno de ellos debe ser el opuesto al lado del que se sabe el valor.

Solución

Determinamos el valor del tercer ángulo

Hallando el valor del ángulo γ    

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°

$\boxed {\bold { 180^o =\alpha + \beta + \gamma}}$

$\boxed {\bold { 180^o = 23^o+ 68^o + \gamma}}$

$\boxed {\bold {\gamma = 180^o - 23^o- 68^o }}$

$\large\boxed {\bold {\gamma = 89^o }}$

El ángulo γ tiene un valor de 89°

Hallamos la medida de los lados faltantes del triángulo

Estableciendo una relación de proporcionalidad entre los lados y los ángulos del triángulo

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Hallando el lado a

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(\alpha ) } = \frac{b}{sen(\beta)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(89^o ) } = \frac{ 30 \ u}{sen(68 ^o) } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 30 \ u \ .\ sen(89)^o } { sen(68)^o } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 30 \ u \ .\ 0.9998476951563 } { 0,9271838545667 } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 29,995430854691 \ u } { 0,9271838545667 } }}$

$\boxed { \bold { a \approx 32,35111 \ u }}$

$\large\boxed { \bold { a \approx 32,351 \ u }}$

El lado a del triángulo tiene un valor de aproximadamente 32,351 unidades

Hallando el lado c

$\boxed { \bold { \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{ 30 \ u}{sen(68 ^o) } =\frac{c}{ sen(23^o ) } }}$

$\boxed { \bold { c = \frac{ 30 \ u \ .\ sen(23)^o } { sen(68)^o } }}$

$\boxed { \bold { c = \frac{ 30 \ u \ .\ 0.3907311284892 } { 0,9271838545667 } }}$

$\boxed { \bold { c = \frac{ 11.721933854678 \ u } { 0,9271838545667 } }}$

$\boxed { \bold { c \approx 12,64251 \ u }}$

$\large\boxed { \bold { c \approx 12,643 \ u }}$

El lado c del triángulo tiene un valor de aproximadamente 12,643 unidades