Question

halla el polígono regular cuyo numero de diagonales se multiplica por 10 al triplicar el numero de vértices

Answer 1

Respuesta:

Es un henicoságono, es decir, un polígono de 21 lados.

Explicación paso a paso:

Tenemos que la fórmula para calcular el número de diagonales de un polígono de n lados es:

$d=\frac{n(n-3)}{2}$

Por lo tanto, tenemos que buscar un polígonos de "x" lados, donde primeramente tenemos que la cantidad de diagonales se multiplican por 10, es decir:

$d=10\cdot \frac{x(x-3)}{2}$

Además, tenemos que han tripicado el número de lados, es decir, tiene 3x lados, por lo que la fórmula para calcular sus diagonales es:

$d=\frac{3x(3x-3)}{2}$

Igualando ambas expresiones tenemos que:

$10\cdot \frac{x(x-3)}{2}=\frac{3x(3x-3)}{2}\\10x(x-3)=3x(3x-3)\\10x^2 -30x=9x^2-9x\\10x^2 - 9x^2 -30x+9x=0\\x^2-21x=0$

Usando la fórmula general de la cuadratica tenemos que:

$x=\frac{21\± \sqrt{21^2-4\cdot 1\cdot 0}}{2\cdot 1}= \frac{21\± \sqrt{21^2}}{2}=\frac{21\± 21}{2}$

Entonces las posibles soluciones son:

$x_1=\frac{21+ 21}{2}=\frac{42}{2}=21 \\x_2=\frac{21- 21}{2}=\frac{0}{2}=0$

Nos quedamos solo con la primera solución ya que la segunda carece de sentido (no nos importa un polígono de 0 lados), entonces la solución es x=21.

Por lo tanto, el polígono es aquel que tiene 21 lados