Question

Halla el perímetro de un triángulo rectángulo en donde la hipotenusa es el triple de uno de sus catetos, y el área es igual a 64 unidades cuadradas.

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

Datos:

$Hipotenusa: c$

$Catetos: a ; b$

$Area: A = 64u^{2}$

$Perimetro: P = ?$

Según las condiciones del problema.

$c =3a$

Aplicando el teorema de Pitágoras.

$c^{2} =a^{2} +b^{2}$

Reemplazando.

$(3a)^{2} =a^{2} +b^{2}$

$9a^{2} -a^{2} = b^{2} , entonces: 8a^{2} =b^{2}$

$b = a\sqrt{8 }$    ecuación 1.

$Area(A) = \frac{Base(b)*Altura(a)}{2}$

$A = \frac{b*a}{2}$

$64u^{2} =\frac{b*a}{2} , entonces: ab = 2 *64$

$ab = 128,entonces: b = \frac{128}{a}$  

$b = \frac{128}{a}$     ecuación 2.

Formamos el sistema de ecuaciones.

$b = \frac{128}{a}$         ecuación 2

$b =a \sqrt{8} }$     ecuación 1

Por el método de igualación:

$a\sqrt{8} =\frac{128}{a}$

Resolvemos la ecuación.

$(a)(a\sqrt{8} ) = 128$

$a^{2} \sqrt{8} = 128, entonces: a^{2} =\frac{128}{\sqrt{8} }$

Racionalizando.

$a^{2} = \frac{128}{\sqrt{8} } *\frac{\sqrt{8} }{\sqrt{8} }$

$a^{2} =\frac{128\sqrt{8} }{8} = 16\sqrt{8}$

$a=\sqrt{16\sqrt{8} } = 4\sqrt[4]{8}$

$a = 4\sqrt[4]{8}$

$a= 6.73$

Reemplazando el valor de " a " en la ecuación 1.

$b = a\sqrt{8}$

$b = (4\sqrt[4]{8} )*(\sqrt{8} ) = (\sqrt{16\sqrt{8} } )*(\sqrt{8} )$

$b = 16\sqrt[4]{2}$

$b= 19.03$

Reemplazando el valor de " a " en: $c = 3a$

$c= 3 (4\sqrt[4]{8} ) = 12\sqrt[4]{8}$

$c = 12\sqrt[4]{8}$

$c= 20.18$

Perímetro: P = ?

$P = a+b+c$

$P = 4\sqrt[4]{8} +16\sqrt[4]{2} + 12\sqrt[4]{8} = 16\sqrt[4]{8} +16\sqrt[4]{2}$

$P = 16 ( \sqrt[4]{2} +\sqrt[4]{8} )$

$P = 6.73+19.03+20.18$

$P = 45.94$

RESPUESTA:

$16 (\sqrt[4]{2} +\sqrt[4]{8} )$           ó           $45.94$