Question

halla el centro, los focos, y los vértices de la siguiente hipérbola (x-1)^2/5-4(y-2)^2/5=1 (no respondan si no saben tampoco)

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

( x - 1 )^2 / 4 - ( y + 2 )^2 / 5 = 1

Es la ecuación de la hipérbola en su segunda forma ordinaria:

[ ( x - h )^2 / (a)^2 ] - [ ( y - k )^2 / (b)^2 ] = 1

La hipérbola tiene eje focal paralelo al eje x

La hipérbola se compone de:

- Centro

- Vértice

- Foco

Para el Centro:

Centro(h, k) ⇒ Centro(1, -2)

Para  los Vértices:

a^2 = 4

a = 2

Vértice[ ( 1 + 2 , -2 ) ; ( 1 - 2 , -2 ) ] = Vértice[ ( 3, - 2 ) ; ( -1, -2 ) ]

Foco:

c = √ [ a^2 + b^2 ]

c = √ [ 4 + 5 ]

c = √9

c = 3

Foco [ ( 1 + 3, -2 ) ; ( 1 - 3, -2 ) ] = Foco [ ( 4, -2 ) ; (-2, -2) ]

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Answer 2

Respuesta:  $\mathrm{Hiperbola\:que\:abre\:hacia\:la\:derecha\:y\:hacia\:la\:izquierda}\:\left(h,\:k\right)=\left(1,\:2\right),\:a=\sqrt{5},\:b=\frac{\sqrt{5}}{2}$Vértice[ ( 3, - 2 ) ; ( -1, -2 ) ]

$Foco [ ( 4, -2 ) ; (-2, -2) ]$

Explicación paso a paso:

$\frac{\left(x-1\right)^2}{5}-4\cdot \frac{\left(y-2\right)^2}{5}=1$

$\mathrm{Ecuacion\:normal\:de\:la\:hiperbola}$

$\frac{\left(x-h\right)^2}{a^2}-\frac{\left(y-k\right)^2}{b^2}=1\:$

$\mathrm{\:es\:la\:ecuacion\:normal\:de\:la\:hiperbola\:cuando\:esta\:abre\:hacia\:la\:izquierda\:y\:hacia\:la\:derecha}$$\mathrm{con\:centro\:}\textbf{\left(h,\:k\right)},\:\mathrm{\:semieje}\:\textbf{a}\:\mathrm{y\:semieje\:conjugado}\:\textbf{b}.$$\left(h,k\right)semieje\:a\:y\:semieje\:conjugado\:b.\:$

$\mathrm{Reescribir}\:\frac{\left(x-1\right)^2}{5}-4\frac{\left(y-2\right)^2}{5}=1\:\mathrm{con\:la\:forma\:de\:la\:ecuacion\:general\:de\:la\:hiprrbola}$

$\frac{\left(x-1\right)^2}{5}-4\cdot \frac{\left(y-2\right)^2}{5}=1$

$\frac{\left(x-1\right)^2}{5}-4\cdot \frac{\left(y-2\right)^2}{5}-1=0$

$\frac{\left(x-1\right)^2}{5}-4\cdot \frac{\left(y-2\right)^2}{5}-1$

$\mathrm{Multiplicar\:}4\cdot \frac{\left(y-2\right)^2}{5}\::\quad \frac{4\left(y-2\right)^2}{5}$

$=\frac{\left(x-1\right)^2}{5}-\frac{4\left(y-2\right)^2}{5}-1$$\mathrm{Combinar\:las\:fracciones\:usando\:el\:minimo\:comun\:denominador}:\quad \frac{\left(x-1\right)^2-4\left(y-2\right)^2}{5}$

$=\frac{\left(x-1\right)^2-4\left(y-2\right)^2}{5}-1$

$=\frac{x^2-2x+16y-4y^2-15}{5}-\frac{1\cdot \:5}{5}$

$=\frac{x^2-2x+16y-4y^2-20}{5}$

$x^2-2x+16y-4y^2-20=0$

$\left(x^2-2x\right)-4\left(y^2-4y\right)=20$

$\frac{1}{4}\left(x^2-2x\right)-\left(y^2-4y\right)=5$

$\frac{1}{4}\left(x^2-2x+1\right)-\left(y^2-4y\right)=5+\frac{1}{4}\left(1\right)$

$\mathrm{Convertir}\:y\:\mathrm{a\:su\:forma\:cuadratica}$

$\frac{1}{4}\left(x-1\right)^2-\left(y^2-4y+4\right)=5+\frac{1}{4}\left(1\right)-4$

$\mathrm{Convertir\:a\:forma\:cuadratica}$

$\frac{1}{4}\left(x-1\right)^2-\left(y-2\right)^2=5+\frac{1}{4}\left(1\right)-4$

$\mathrm{Simplificar\:}5+\frac{1}{4}\left(1\right)-4$

$\frac{1}{4}\left(x-1\right)^2-\left(y-2\right)^2=\frac{5}{4}$

$\frac{\left(x-1\right)^2}{5}-\frac{\left(y-2\right)^2}{\frac{5}{4}}=1$

$\mathrm{Reescribir\:en\:la\:forma\:estandar}$

$\frac{\left(x-1\right)^2}{\left(\sqrt{5}\right)^2}-\frac{\left(y-2\right)^2}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2}=1$

$\mathrm{Por\:lo\:tanto,\:las\:propiedades\:de\:la\:hiperbola\:son:\:}$

$\left(h,\:k\right)=\left(1,\:2\right),\:a=\sqrt{5},\:b=\frac{\sqrt{5}}{2}$  , Vértice[ ( 3, - 2 ) ; ( -1, -2 ) ]

Foco:

$c\:=\:\sqrt{\left[\:a^2\:+\:b^2\:\right]}$

Reemplazamos:

$c\:=\:\sqrt{\left[\:4\:+\:5\:\right]}$

$c\:=\:3$

$Foco\:\left[\:\left(\:1\:+\:3,\:-2\:\right)\:;\:\left(\:1\:-\:3,\:-2\:\right)\:\right]\:=\:Foco\:\left[\:\left(\:4,\:-2\:\right)\:;\:\left(-2,\:-2\right)\:\right]$