Question

Halla el área y el volumen de un cono de 4cm de diámetro de la base y 5cm de altura.

Answer 1

EL CONO

El cono es un sólido de revolución que se obtiene luego de girar un triángulo rectángulo sobre uno de sus catetos. Su base es circular.

Área

El área total del cono se halla con la fórmula a continuación:

$\large{\boxed{\mathsf{A_{T} = \pi rg + \pi r^{2}}}}$

Si factorizamos, la fórmula también es igual a:

$\large{\boxed{\mathsf{A_{T} = \pi r(g+r)}}}$

Donde π ≈ 3,14, r es el radio y g es la generatriz.

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Tengamos en cuenta que:

• El radio es la mitad del diámetro.
• El ejercicio brinda el dato que el diámetro mide 4 cm. Por lo tanto, el radio medirá 4 cm ÷ 2 = 2 cm.

Ahora, hallamos la generatriz.

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[Ver imagen adjunta]

Como vemos, el radio, la altura y la generatriz forman un triángulo rectángulo. Aplicamos el teorema de Pitágoras y hallamos la generatriz:

$\mathsf{r^{2} + h^{2} = g^{2}}$

$\mathsf{2^{2} + 5^{2} = g^{2}}$

$\mathsf{4 + 25 = g^{2}}$

$\mathsf{29 = g^{2}}$

$\mathsf{g = \sqrt{29}}$

$\boxed{\mathsf{g = 5,39\: cm}}$

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Bien. Tenemos como datos:

• El radio mide 2 cm
• La generatriz mide 5,39 cm

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Hallamos el área:

$\mathsf{A_{T} = \pi r(g+r)}$

$\mathsf{A_{T} = \pi (2\: cm)(5,39\: cm + 2\: cm)}$

$\mathsf{A_{T} = (3,14)(2\: cm)(7,39\: cm)}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{A_{T} = 46,4092\: cm^{2}}}}$

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Volumen

El volumen de un cono recto se calcula con la fórmula siguiente:

$\large{\boxed{\mathsf{V = \dfrac{\pi r^{2} h}{3}}}}$

Donde π ≈ 3,14, r es la medida del radio, h es la altura.

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Sabemos que:

• El radio mide 2 cm
• La altura mide 5 cm

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Reemplazamos en la fórmula y resolvemos:

$\mathsf{V = \dfrac{\pi r^{2} h}{3}}$

$\mathsf{V = \dfrac{(3,14)(2\: cm)^{2}(5\: cm)}{3}}$

$\mathsf{V = \dfrac{(3,14)(4\: cm^{2})(5\: cm)}{3}}$

$\mathsf{V = \dfrac{62,8\: cm^{3}}{3}}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{V = 20,93\: cm^{3}}}}$

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Respuesta. El área del cono es 46,4092 cm², y su volumen es 20,93 cm³.

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