Halla dos números cuyo producto sea 16 y su suma sea mínima
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Para el primer problema
Si esos dos números son x e y, entonces como su producto es 16, xy=16 donde ninguno de ellos puede ser cero, luego y=16/x
La suma de ambos número es x+y es decir x+16/x
La función de la suma es f(x)=x+16/x
Quiero hallar su valor mínimo
Para hallar sus puntos críticos (los cuales pueden ser mínimos o máximos) derivo esta función y luego la igualo a cero
f(x)=x+16*x^(-1) luego su derivada es f'(x)=1+16*(-1)x^(-2) es decir f'(x)=1-16/x²
Igualo a cero la derivada f'(x)=0 1-16/x² = 0 1=16/x² x²=16
Luego x=4 o x=-4
Podría hallar la segunda derivada de mi función (es decir derivar la derivada) y analizando su signo ver si estos puntos son máximos, mínimos o ninguna de las dos Entonces
f'(x)=1-16x^(-2) f''(x)=0-16*(-2)*x^(-3) f''(x)=32/x³
Para x=4 la segunda derivada es 32/4³ lo cual es positivo Entonces en x=4 mi función tiene un mínimo
Para x=-4 la segunda derivada es -32/4³ lo cual es negativo Entonces en x=-4 mi función tiene un máximo
Como quiero que la función suma de lo mínimo posible entonces elijo x=4 Luego y=16/x y=4 Los números son 4 y 4
Explicación:
Los dos números cuyo producto es 16, tales que su suma es mínima son: 4 y 4.
Explicación:
La función objetivo es la suma de los dos números. Si llamamos y al primer número y x al segundo; la función objetivo viene dada por:
F = y + x
Lo conveniente es que F esté expresada solo en función de una variable, por lo que usaremos el producto conocido de los dos números (ecuación auxiliar) para despejar y en función de x:
x y = 16 ⇒ y = 16 / x
por tanto la función objetivo es
F = 16 / x + x
Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.
Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de F.
F’ = -16 / x² + 1
F' = 0 ⇒ -16 / x² + 1 = 0 ⇒ x = ± 4
Estos son los puntos críticos o posibles extremos de la función.
Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.
F'' = 32 / x³
Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.
F’'(-4) = 32 / (-4)³ < 0 x = -4 es un máximo de la función F
F’'(4) = 32 / (4)³ > 0 x = 4 es un mínimo de la función F
Sustituimos el valor mínimo de x en la ecuación de cálculo de y:
y = 16 / (4) = 4
Los dos números cuyo producto es 16, tales que su suma es mínima son: 4 y 4.
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