Question

Halla dos números cuya diferencia sea 10 y la suma de sus cuadrados sea 292

Answer 1

Respuesta:

 $x=16\\y=6$

Explicación paso a paso:

Sean las variables buscadas:

x: 1° número

y: 2° número

Cuya diferencia sea 10:

1) $x-y=10$

Suma de sus cuadrados sea 292:

2) $x^2 +y^2=292$

Así obtienes un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, si despejas por ejemplo de la ecuación (1) la variable y obtienes

$y=x-10,$

que reemplazando en (2)

$x^2+(x-10)^2=292\\x^2+x^2-20x+100=292\\2x^2-20x-192=0\\x^2-10x-96=0\\(x-16)(x+6)=0\\x_1=16\\x_2=6$

así obtienes los resultados

$x=16\\y=6$

Answer 2

Halla dos números cuya diferencia sea 10 y la suma de sus cuadrados sea 292.

Resolución:

Binomio al cuadrado:

                                            $\sf (a-b)^{2} =a^{2} -2ab + b^{2} ...(I)$

                                            $\sf (a+b)^{2} =a^{2} +2ab + b^{2} ...(II)$

Observamos en el enunciado que la diferencia de los número es 10 y la suma de sus cuadrado es 292, considerando que los dos números son "x" y "y"

▪ $\sf x - y = 10$

▪ $\sf x^{2} +y^{2} =292$

Estos datos los sustituimos en la fórmula I

                                             $\sf (x-y)^{2} =x^{2} -2xy + y^{2}$

                                                 $\sf (10)^{2} =x^{2} +y^{2} -2xy$

                                                    $\sf 100 = 292 - 2xy$

                                                    $\sf 2xy = 292 - 100$

                                                    $\sf 2xy = 192$

Sustituimos el dato obtenido en la fórmula II

                                               $\sf (x+y)^{2} =x^{2} +2xy + y^{2}$

                                               $\sf (x+y)^{2} =x^{2} + y^{2}+192$

                                               $\sf (x+y)^{2} =292 +192$

                                               $\sf (x+y)^{2} =484$

                                                   $\sf x+y = \sqrt{484}$

                                                   $\sf x + y = 22$

Aplicamos el método de reducción

                                     $\sf x + y = 22 -\\ x-y=10\\-----$                    $\sf x -y = 10$

                                         $\sf 2y = 12$         $\to$           $\sf x -6 = 10$

                                         $\boxed{\boldsymbol{\sf y = 6}}}$                            $\boxed{\boldsymbol{\sf x= 16}}}$

Respuesta: Los números son 16 y 6