Question

Hace 5 años, la edad de Prisila fue el séxtuple del cuadrado de la edad que tuvo hace 27 años. ¿Dentro de cuántos años su edad será igual al doble de la edad que tuvo hace 12 años?

Answer 1

Respuesta:    Dentro de 5 años

Explicación paso a paso:

En problemas de edades,tratamos de expresarlo algebraicamente para poder resolver un incognita:

Edad de Prisila: x

Hace 5 años:  x-5

Séxtuple del cuadrado de la edad que tuvo hace 27 años: 6(x-27)²

Dentro de cuántos años su edad : x+y   (primero se debe saber x)*

Doble de la edad que tuvo hace 12 años: 2(x-12) (primero se debe saber x)*

Expresamos:

$x-5=6\left(x-27\right)^2$

Primero desarrollamos:  $6\left(x-27\right)^2$

Para desarrollar de sebe extender el binomio al cuadrado : $\left(x-27\right)^2$

Asi ⇒ $\left(x-27\right)^2$  

$\mathrm{Aplicar\:la\:formula\:del\:binomio\:al\:cuadrado}:\quad \left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2$   $a=x,\:\:b=27$

Queda:

$=x^2-54x+729$

Entonces :

$=6\left(x^2-54x+729\right)$

$\mathrm{Aplicar\:la\:siguiente\:regla\:de\:productos\:notables}$

$=6x^2+6\left(-54x\right)+6\cdot \:729$

$=6x^2-6\cdot \:54x+6\cdot \:729$

Simplificar:

$=6x^2-324x+4374$

Hasta ahí resolvimos solo una parte de la ecuacion:

Queda:

$x-5=6x^2-324x+4374$

$\mathrm{Intercambiar\:lados}$

$6x^2-324x+4374=x-5$

$\mathrm{Sumar\:}5\mathrm{\:a\:ambos\:lados}$

$6x^2-324x+4374+5=x-5+5$

$\mathrm{Simplificar}$

$6x^2-324x+4379=x$

$\mathrm{Restar\:}x\mathrm{\:de\:ambos\:lados}$

$6x^2-324x+4379-x=x-x$

$\mathrm{Simplificar}$

$6x^2-325x+4379=0$     ⇒Exacto! se formo una ecuación cuadratica....

$\mathrm{Resolver\:con\:la\:formula\:general\:para\:ecuaciones\:de\:segundo\:grado:}$

$\mathrm{Para\:una\:ecuacion\:de\:segundo\:grado\:de\:la\:forma\:}ax^2+bx+c=0\mathrm{\:las\:soluciones\:son\:}$

$x_{1,\:2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$\mathrm{Para\:}\quad a=6,\:b=-325,\:c=4379:\quad x_{1,\:2}=\frac{-\left(-325\right)\pm \sqrt{\left(-325\right)^2-4\cdot \:6\cdot \:4379}}{2\cdot \:6}$

Resolviendo :

$x_{1}=\frac{-\left(-325\right)\++\sqrt{\left(-325\right)^2-4\cdot \:6\cdot \:4379}}{2\cdot \:6}=29$ ->Esta es la solución mas lógica de edad

$x_{2}=\frac{-\left(-325\right)\+-\sqrt{\left(-325\right)^2-4\cdot \:6\cdot \:4379}}{2\cdot \:6}=\frac{151}{6}$ -> Esta no la contamos....

Entonces sabemos que:

$x=29$    Osea la edad actual de Prisila es dde 29 años

Tengo x , procedo a desarrollar el problema que me pide:

¿Dentro de cuántos años su edad será igual al doble de la edad que tuvo hace 12 años?

Expresamos algebraicamente :

$x+y=2\left(x-12\right)$    donde  $y$ es la respuesta

Sustituimos de x=29

$29+y=2\left(29-12\right)$

$\mathrm{Restar:}\:29-12=17$

$29+y=2\cdot \:17$

$\mathrm{Multiplicar\:los\:numeros:}\:2\cdot \:17=34$

$29+y=34$

$\mathrm{Restar\:}29\mathrm{\:de\:ambos\:lados}$

$29+y-29=34-29$

$\mathrm{Simplificar}$

$y=5$  ⇒ Respuesta

Finalmente, dentro de solo 5 años  la edad de Prisila será igual al doble de la edad que tuvo hace 12 años. Osea tendra 34 años