Question

Grafique y encuentre la ecuación canónica y general de la circunferencia dado: Centro (3,4) radio r = 2​

Answer 1

【Rpta.】La ecuación canónica de la circunferencia es (x-3)² + (y-4)² = 4 y la general x²+y²-6x-8y+21= 0

                                 $\green{{\hspace{50 pt}\above 1.2pt}\boldsymbol{\mathsf{Procedimiento}}{\hspace{50pt}\above 1.2pt}}$

Recordemos que una circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos P(x,y) del plano que equidistan de un punto fijo C(h,k), al cuál llamaremos centro.

$\overset{\mathsf{Ecuaci\acute{o}n\:can\acute{o}nica\:de\:la\:circunferencia}}{\boxed{\boldsymbol{\mathrm{(x-h)^2+(y-k)^2=r^2}}}}\hspace{20pt} \mathsf{Donde}\hspace{10pt}\overset{\displaystyle \nearrow \overset{\displaystyle \mathsf{\mathrm{\mathrm{(h,k): Centro\:de\:la\:circunferencia}}}}{\vphantom{A}}}{\vphantom{\frac{a}{a}}}\kern-158pt\underset{\displaystyle \searrow \underset{\displaystyle \mathsf{\mathrm{r:radio}}}{}}{}$

Ya conociendo esto extraigamos nuestros datos:

                                                 $\begin{array}{c}\mathsf{\blacktriangleright \:\:\:C = (\underbrace{3}_{h},\overbrace{4}^{k})}\\\\\mathsf{\blacktriangleright \:\:\:r = 2}\end{array}$

✅ Determinamos la ecuación canónica de la circunferencia

Por ello reemplazamos

                                          $\begin{array}{c}\mathsf{(x-h)^2+(y-k)^2=r^2}\\\\\mathsf{\big[x-(3)\big]^2+\big[y-(4)\big]^2=(2)^2}\\\\\red{\mathsf{\boxed{\boxed{\boldsymbol{\mathsf{(x-3)^2+(y-4)^2=4}}}}}}\\\uparrow\\\sf{Ecuaci\acute{o}n\ can\acute{o}nica} \end{array}$

✅ Determinamos la ecuación general de la circunferencia

Por ello operamos

                              $\begin{array}{c}\mathsf{(x-3)^2+(y-4)^2=4}\\\\\mathsf{\big[x^2 - 2(x)(3)+3^2\big]+\big[y^2- 2(y)(4)+4^2\big]=4}\\\\\mathsf{(x^2- 6x+9)+(y^2- 8y+16)=4}\\\\\mathsf{x^2+y^2 - 6x - 8y + 25=4}\\\\\red{\mathsf{\boxed{\boxed{\boldsymbol{\mathsf{x^2+y^2- 6x- 8y+ 21=0}}}}}}\\\uparrow\\\sf{Ecuaci\acute{o}n\ general}\end{array}$

⚠ La gráfica se encuentra en la imagen.

                                               $\boxed{\sf{{R}}\quad\raisebox{10pt}{ \sf{\red{O}} }\!\!\!\!\raisebox{-10pt}{ \sf{\red{O}} }\quad\raisebox{15pt}{ \sf{{G}} }\!\!\!\!\raisebox{-15pt}{ \sf{{G}} }\quad\raisebox{15pt}{ \sf{\red{H}} }\!\!\!\!\raisebox{-15pt}{ \sf{\red{H}} }\quad\raisebox{10pt}{ \sf{{E}} }\!\!\!\!\raisebox{-10pt}{ \sf{{E}} }\quad\sf{\red{R}}}\hspace{-64.5pt}\rule{10pt}{.2ex}\:\rule{3pt}{1ex}\rule{3pt}{1.5ex}\rule{3pt}{2ex}\rule{3pt}{1.5ex}\rule{3pt}{1ex}\:\rule{10pt}{.2ex}$