Question

Graficar las siguientes funciones en GeoGebra calculando rango, dominio, puntos críticos, asíntotas si las tiene.
f(x)= √((4-x)/(x+2))
con el procedimiento muchas gracias

Answer 1

Hola :D

Tarea: Graficar las siguientes funciones en Geogebra calculando rango, dominio, puntos críticos, asíntotas si las tiene.

$f(x)=\sqrt{\frac{4-x}{x+2} }$ con el procedimiento muchas gracias

Lo primero, sería calcular el dominio de la función, en este caso, estamos trabajando con una función irracional que encima tiene una raíz que afecta al numerador y al denominador, lo que debemos hacer es primero resolver los distintos casos, vayamos con el primero:

$\sqrt{\frac{4-x}{x+2} }\geq  0$ → eliminamos la raíz eliminando el exponente a la 2.

$\frac{4-x}{x+2} \geq 0$ → pasamos el $x+2$ a multiplicar al 0

$4-x\geq 0$ ⇒$-x\geq -4$ → Multiplicamos por $-1$, recuerda que al multiplicar una desigualdad, se cambiará por su contrario, es decir, en este caso, cambiamos $\geq$ por $\leq$

Nos queda: $x\leq 4$

Nota: este valor lo podemos utilizar cómo nuestro punto crítico, pero en vez de la desigualdad, solamente hacemos la igualdad: $x=4$

Ya hemos obtenido la primera parte, ahora, vayamos a encontrar el valor indefinido para el denominador:

Recordemos que el denominador debe ser diferente de 0

$x+2\neq 0$ → $x\neq -2$

Aquí aprovechamos el valor obtenido, ya que este valor nos representa a la asíntota vertical $x=-2$, después de eso, no hay más asíntotas (al menos que pertenezcan a la función)

Y ahora, viene la parte del análisis, esto lo puedes realizar trazando una recta númerica, identificando los puntos obtenidos, y encontrar los valores permitidos, en este caso, el intervalo es: $x \in (-2,4]$ que a su vez es el dominio de la función

Recuerda que el paréntesis significa que no toma el valor, y el corchete significa que sí lo toma.

Vayamos a encontrar el Rango, recuerda que la función la debemos dejar en términos de $x$:

$y=\sqrt{\frac{4-x}{x+2} }$ → Elevamos al cuadrado para eliminar la raíz

$y^{2} =\frac{4-x}{x+2}$ → Pasamos el denominador a multiplicar

$xy^{2} +2y^{2} =4-x$ → pasamos el $-x$ al otro lado, también lo haremos con $2y^{2}$

$xy^{2} +x=4-2y^{2}$ → Factorizamos

$x(y^{2} +1)=4-2y^{2}$ → Despejamos

$x=\frac{4-2y^{2} }{y^{2} +1}$

Hay algo especial en el denominador, vemos que es $y^{2} +1$, por lo que consideramos el hecho de que sus límites son números imaginarios, esto suele pasar mucho, podría decirse analíticamente de que $y$ puede tomar cualquier valor, pero gráficamente no es así.

De acuerdo a la gráfica proporcionada, el rango será:

$y \in [0,\infty^{+})$ Recuerda de que debido a que tenemos el punto crítico, podemos decir que el rango inicia desde 0 (tomándolo) hasta el infinito positivo

Espero haberte ayudado,

SALUDOS CORDIALES, AspR178

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