Question

Graficar la función.
Determinar máximo y mínimo, si es que existen.
Determinar los intervalos del crecimiento y decrecimiento.

Answer 1

Repasando conceptos, un máximo es un punto de la función donde esta pasa de ser creciente a ser decreciente, y un mínimo es el punto donde la función pasa de ser decreciente a ser creciente. Si en estos puntos denominados extremos la derivada existe su valor es cero. Si la derivada no existe pero la función es continua, se aplica la definición de extremo.

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento se pueden determinar evaluando la derivada de la función. La función es creciente en aquellos intervalos donde la derivada sea positiva y a la inversa si la derivada es negativa la función es decreciente.

Esta es una función que aparenta tener tres tramos pero el primer tramo es una función módulo, es una función que a su vez se desglosa en dos tramos dependiendo el signo de lo que está adentro del módulo.

$2x-6\geq 0 =>|2x-6|=2x-6\\2x-6 < 0 =>|2x-6|=-(2x-6)\\2x-6< 0\\x< 3$

De modo que el primer tramo queda:

$|2x+6|+2=\left \{ {{2x-4, x\geq3 } \atop {-2x+8, x<3}} \right.$

Este tramo se grafica dibujando la recta -2x+8, recta de pendiente -2 y ordenada a la origen 8, decreciente hasta x=3 y luego de x=3 a x=5 la recta 2x-4, creciente con pendiente 2 y ordenada al origen -4, esa función tendrá forma de una "V" hacia arriba por lo que el punto x=3 es un mínimo, su valor es:

$f(3)=2.3-4=6-4=2$

Y del razonamiento anterior (porque como en ese punto la función no es derivable por ende no se puede aplicar la condición de derivada nula en el extremo) salen el intervalo de decrecimiento [0;3), y de crecimiento [3;5). Ahora viene la segunda rama, la prueba de continuidad nos da:

$\lim_{n \to 5} 2x-4=2.5-4=6\\ \lim_{n \to 5} -\frac{2}{3}x^2+\frac{20}{3}x-\frac{32}{3}=-\frac{2}{3}.25+\frac{20}{3}.5-\frac{32}{3}=-\frac{50}{3}+\frac{100}{3}-\frac{32}{3} = 6$

La función es continua en x=5, veamos si es derivable, para que ello ocurra las derivadas de las dos ramas que llegan al punto x=5 tienen que existir y ser iguales:

$f_1=2x-4=>f'_1=2\\f_2=-\frac{2}{3}x^2+\frac{20}{3}x-\frac{32}{3}=>f'_2=-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}\\f'_2(5)=-\frac{4}{3}.5+\frac{20}{3}=0$

La función no es derivable en x=5, replanteando la derivada:

$f'_2(x)=-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}$

Vemos que esta es negativa en todo el intervalo donde la función sigue esta ecuación, por ende el intervalo [5;8] es decreciente, y recordando que la función es creciente para valores menores a x=5, el punto x=5 es un máximo.

La segunda rama es una parábola cóncava hacia abajo, la derivada en x=5 dió cero con lo que dicho punto coincide con el vértice y con la ordenada al origen y los dos ceros se puede graficar, la ordenada al origen es el término independiente y los ceros son:

$y=ax^2+bx+c\\x_{1,2}=\frac{-b\±\sqrt{b^2-4ac} }{2a}$

Ahora evaluemos la continuidad en el punto x=8:

$\lim_{n \to 8} -\frac{2}{3}x^2+\frac{20}{3}x-\frac{32}{3}=-\frac{2}{3}64+\frac{20}{3}8-\frac{32}{3}=0\\ \lim_{n \to 8} \sqrt{2x-16}=0$

Y la derivabilidad:

$\lim_{n \to 8} -\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}=-\frac{4}{3}.8+\frac{20}{3}=-4\\\lim_{n \to 8} \frac{2}{2\sqrt{2x-16}}=\frac{2}{2\sqrt{2.8-16}}=ND$

La función no es derivable, ahora, sabemos que la segunda rama es decreciente en todo su intervalo ahora veamos el tercer tramo:

$f'_3(x)=\frac{1}{\sqrt{2x-16}}$

Es positiva en todo el intervalo con lo que la función es creciente en (8;10] y  el punto x=8 es un mínimo.

La forma para determinar que los intervalos son abiertos o cerrados es si este incluye o no al extremo, un signo < ó > no incluye al extremo, por lo tanto indica intervalo abierto en ese punto, en cambio los signos $\leq$ y $\geq$ denotan que el intervalo incluye al extremo y por ende es cerrado en ese punto.

Resumiendo, la función tiene:

• 2 mínimos, uno en x=3 de valor y=2 y x=8, de valor y=0
• 1 máximo en x=5 de valor y=6
• Intervalos de crecimiento en [3;5) y (8;10]
• Intervalos de decrecimiento en [0;2) y [5;8].